Номер 403, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

403. Укажите, как должны быть расположены в пространстве две прямые, чтобы через них можно было провести цилиндрическую поверхность. Установите, где размещаются оси таких цилиндров.

Укажите, как должны быть расположены в пространстве две прямые, чтобы через них можно было провести цилиндрическую поверхность.

Цилиндрическая поверхность — это поверхность, образованная движением прямой линии (называемой образующей) параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей). Любая прямая, которая целиком лежит на цилиндрической поверхности, является одной из её образующих.

Все образующие одной цилиндрической поверхности по определению параллельны друг другу. Следовательно, если через две данные прямые $l_1$ и $l_2$ можно провести цилиндрическую поверхность, то эти прямые должны быть её образующими. Это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ должны быть параллельны. Если прямые совпадают, то через них проходит бесконечное множество цилиндров. Если прямые пересекаются или скрещиваются, они не могут быть одновременно образующими одной цилиндрической поверхности.

Ответ: Чтобы через две прямые можно было провести цилиндрическую поверхность, они должны быть параллельны и не совпадать.

Установите, где размещаются оси таких цилиндров.

Рассмотрим случай кругового цилиндра, который является наиболее распространенным. Ось кругового цилиндра — это прямая, расстояние от которой до любой точки на поверхности цилиндра постоянно и равно радиусу $R$.

Пусть $l_1$ и $l_2$ — две данные параллельные прямые, лежащие на поверхности цилиндра, а $a$ — ось этого цилиндра. Ось $a$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Ось $a$ должна быть параллельна образующим цилиндра, то есть параллельна прямым $l_1$ и $l_2$.
2. Все точки оси $a$ должны быть равноудалены от прямых $l_1$ и $l_2$, так как все точки на прямых $l_1$ и $l_2$ (являющихся частью поверхности цилиндра) должны находиться на расстоянии $R$ от оси $a$.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух параллельных прямых, представляет собой плоскость. Обозначим эту плоскость $\Sigma$. Эта плоскость $\Sigma$ является плоскостью симметрии для прямых $l_1$ и $l_2$. Она перпендикулярна плоскости $\Pi$, в которой лежат прямые $l_1$ и $l_2$, и пересекает плоскость $\Pi$ по прямой $m$, которая параллельна $l_1$ и $l_2$ и расположена ровно посередине между ними.

Так как ось цилиндра $a$ должна состоять из точек, равноудаленных от $l_1$ и $l_2$, она должна полностью лежать в плоскости $\Sigma$. Учитывая также, что ось $a$ должна быть параллельна прямым $l_1$ и $l_2$, делаем вывод, что оси всех возможных цилиндров, проходящих через $l_1$ и $l_2$, — это все прямые, лежащие в плоскости симметрии $\Sigma$ и параллельные данным прямым.

Ответ: Оси таких цилиндров — это множество всех прямых, которые лежат в плоскости симметрии данных двух параллельных прямых и параллельны им. Эта плоскость симметрии перпендикулярна плоскости, содержащей данные прямые, и делит расстояние между ними пополам.