Номер 410, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

410. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник с диагональю $d$. Угол между диагональю и стороной этого прямоугольника равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра. Сколько решений имеет задача?

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$. По условию, диагональ прямоугольника равна $d$, а угол между диагональю и одной из сторон равен $\alpha$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю, найдем стороны прямоугольника:

$a = d \cos \alpha$

$b = d \sin \alpha$

Одна из сторон этого прямоугольника является высотой цилиндра $H$, а другая — длиной окружности его основания $C$. Поскольку в условии не уточнено, с какой именно стороной диагональ образует угол $\alpha$ (с прилежащей или противолежащей), то существует два возможных случая.

Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра.

Случай 1. Высота цилиндра $H$ равна стороне, прилежащей к углу $\alpha$, а длина окружности основания $C$ — стороне, противолежащей углу $\alpha$.

$H_1 = d \cos \alpha$

$C_1 = d \sin \alpha$

Из формулы длины окружности $C = 2\pi R$ найдем радиус основания:

$R_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{d \sin \alpha}{2\pi}$

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади развертки:

$S_{бок} = a \cdot b = (d \cos \alpha)(d \sin \alpha) = d^2 \sin \alpha \cos \alpha$

Площадь основания $S_{осн} = \pi R^2$:

$S_{осн_1} = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{d \sin \alpha}{2\pi}\right)^2 = \frac{d^2 \sin^2 \alpha}{4\pi}$

Тогда площадь полной поверхности:

$S_{полн_1} = d^2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cdot \frac{d^2 \sin^2 \alpha}{4\pi} = d^2 \sin \alpha \left(\cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{2\pi}\right)$

Объем цилиндра $V = S_{осн} \cdot H$:

$V_1 = S_{осн_1} \cdot H_1 = \frac{d^2 \sin^2 \alpha}{4\pi} \cdot (d \cos \alpha) = \frac{d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{4\pi}$

Ответ: $S_{полн} = d^2 \sin \alpha \left(\cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{2\pi}\right)$, $V = \frac{d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{4\pi}$.

Случай 2. Высота цилиндра $H$ равна стороне, противолежащей углу $\alpha$, а длина окружности основания $C$ — стороне, прилежащей к углу $\alpha$.

$H_2 = d \sin \alpha$

$C_2 = d \cos \alpha$

Радиус основания:

$R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{d \cos \alpha}{2\pi}$

Площадь боковой поверхности та же: $S_{бок} = d^2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Площадь основания:

$S_{осн_2} = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{d \cos \alpha}{2\pi}\right)^2 = \frac{d^2 \cos^2 \alpha}{4\pi}$

Тогда площадь полной поверхности:

$S_{полн_2} = d^2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cdot \frac{d^2 \cos^2 \alpha}{4\pi} = d^2 \cos \alpha \left(\sin \alpha + \frac{\cos \alpha}{2\pi}\right)$

Объем цилиндра:

$V_2 = S_{осн_2} \cdot H_2 = \frac{d^2 \cos^2 \alpha}{4\pi} \cdot (d \sin \alpha) = \frac{d^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha}{4\pi}$

Ответ: $S_{полн} = d^2 \cos \alpha \left(\sin \alpha + \frac{\cos \alpha}{2\pi}\right)$, $V = \frac{d^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha}{4\pi}$.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два различных решения, соответствующих двум рассмотренным случаям. Эти два решения приводят к разным по форме цилиндрам, за исключением одного частного случая.

Решения совпадают, если размеры цилиндров в обоих случаях одинаковы. Это произойдет, если стороны прямоугольника-развертки равны, то есть $a=b$.

$d \cos \alpha = d \sin \alpha \implies \tan \alpha = 1$

Так как $\alpha$ — это острый угол прямоугольного треугольника ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), данное равенство выполняется только при $\alpha = 45^\circ$. В этом случае развертка боковой поверхности является квадратом.

Следовательно, если $\alpha = 45^\circ$, оба случая сводятся к одному, и задача имеет единственное решение. Если $\alpha \neq 45^\circ$, то задача имеет два различных решения.

Ответ: Задача имеет два решения, если $\alpha \neq 45^\circ$, и одно решение, если $\alpha = 45^\circ$.