Номер 415, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

415. Найдите отношение боковых поверхностей и отношение объемов цилиндров, полученных при вращении прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вокруг одной и вокруг другой стороны.

Рассмотрим два цилиндра, полученных при вращении прямоугольника со сторонами $a$ и $b$.

1. Вращение вокруг стороны $a$

При вращении прямоугольника вокруг стороны $a$ получается цилиндр, у которого высота $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$.

• Площадь боковой поверхности этого цилиндра ($S_1$) равна: $S_1 = 2 \pi r_1 h_1 = 2 \pi b a$.
• Объем этого цилиндра ($V_1$) равен: $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi b^2 a$.

2. Вращение вокруг стороны $b$

При вращении прямоугольника вокруг стороны $b$ получается цилиндр, у которого высота $h_2 = b$, а радиус основания $r_2 = a$.

• Площадь боковой поверхности этого цилиндра ($S_2$) равна: $S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi a b$.
• Объем этого цилиндра ($V_2$) равен: $V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi a^2 b$.

Теперь найдем требуемые отношения.

Отношение боковых поверхностей

Найдем отношение площади боковой поверхности первого цилиндра ($S_1$) к площади боковой поверхности второго цилиндра ($S_2$):
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \pi b a}{2 \pi a b} = 1$.
Площади боковых поверхностей полученных цилиндров равны.
Ответ: 1.

Отношение объемов

Найдем отношение объема первого цилиндра ($V_1$) к объему второго цилиндра ($V_2$):
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi b^2 a}{\pi a^2 b} = \frac{b}{a}$.
Отношение объемов равно отношению стороны, ставшей радиусом, к стороне, ставшей осью вращения (и наоборот для второго цилиндра).
Ответ: $\frac{b}{a}$.