Номер 419, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

419. Найдите зависимость между образующей цилиндра и его радиусом, учитывая, что боковая поверхность цилиндра равновелика с кругом, описанным около осевого сечения.

Обозначим образующую (которая равна высоте) цилиндра как $L$, а радиус его основания как $R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi R L$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $L$ (образующая).

Круг, описанный около этого прямоугольника, имеет диаметр $d$, равный диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора находим диагональ:
$d^2 = (2R)^2 + L^2 = 4R^2 + L^2$
Следовательно, $d = \sqrt{4R^2 + L^2}$.

Радиус описанного круга, $R_{окр}$, равен половине его диаметра:
$R_{окр} = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{4R^2 + L^2}}{2}$

Площадь этого круга, $S_{круга}$, вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi R_{окр}^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{4R^2 + L^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{4R^2 + L^2}{4}$

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга ($S_{бок} = S_{круга}$), поэтому мы можем составить уравнение:
$2 \pi R L = \pi \frac{4R^2 + L^2}{4}$

Для нахождения зависимости между $L$ и $R$, упростим это уравнение. Разделим обе части на $\pi$:
$2 R L = \frac{4R^2 + L^2}{4}$
Умножим обе части на 4:
$8 R L = 4R^2 + L^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$L^2 - 8RL + 4R^2 = 0$

Это уравнение и представляет собой искомую зависимость. Также можно выразить $L$ через $R$, решив данное уравнение как квадратное относительно $L$:
$L = \frac{8R \pm \sqrt{(-8R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4R^2)}}{2} = \frac{8R \pm \sqrt{64R^2 - 16R^2}}{2}$
$L = \frac{8R \pm \sqrt{48R^2}}{2} = \frac{8R \pm 4R\sqrt{3}}{2} = (4 \pm 2\sqrt{3})R$
Оба решения являются геометрически возможными, так как $4 - 2\sqrt{3} > 0$.

Ответ: $L^2 - 8RL + 4R^2 = 0$, что эквивалентно $L = (4 \pm 2\sqrt{3})R$.