Номер 418, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

418. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S$, а диагональ его осевого сечения — $l$. Найдите объем этого цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S$ определяется формулой:

$S = 2\pi R H$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $H$ (высота). Диагональ этого прямоугольника равна $l$. По теореме Пифагора имеем:

$(2R)^2 + H^2 = l^2$

$4R^2 + H^2 = l^2$

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 H$

Наша задача — выразить $V$ через $S$ и $l$. Для этого найдем $R$ и $H$ из системы уравнений:

$\begin{cases} 2\pi R H = S \\ 4R^2 + H^2 = l^2 \end{cases}$

Выразим объем через $S$ и $R$. Из первой формулы $H = \frac{S}{2\pi R}$. Подставив это в формулу для объема, получим:

$V = \pi R^2 \left(\frac{S}{2\pi R}\right) = \frac{SR}{2}$

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $R$.

Для решения системы уравнений воспользуемся алгебраическим методом. Из первого уравнения $RH = \frac{S}{2\pi}$, следовательно, $4RH = \frac{2S}{\pi}$.

Рассмотрим два выражения, основанных на формуле для $l^2$:

$(2R+H)^2 = 4R^2 + 4RH + H^2 = (4R^2+H^2) + 4RH = l^2 + \frac{2S}{\pi}$

$(2R-H)^2 = 4R^2 - 4RH + H^2 = (4R^2+H^2) - 4RH = l^2 - \frac{2S}{\pi}$

Извлекая квадратные корни, получаем систему линейных уравнений относительно $2R$ и $H$:

$\begin{cases} 2R+H = \sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} \\ 2R-H = \pm\sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}} \end{cases}$

Эта система имеет два возможных решения, так как выражение $2R-H$ может быть как положительным, так и отрицательным. Это означает, что существуют два цилиндра, удовлетворяющих заданным условиям (один "широкий и низкий", другой "узкий и высокий").

Случай 1: $2R-H = +\sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}$

Сложим уравнения системы:

$(2R+H) + (2R-H) = 4R = \sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} + \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}$

$R_1 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} + \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}\right)$

Тогда объем первого возможного цилиндра:

$V_1 = \frac{S R_1}{2} = \frac{S}{8}\left(\sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} + \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}\right)$

Случай 2: $2R-H = -\sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}$

Сложим уравнения системы:

$4R = \sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} - \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}$

$R_2 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} - \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}\right)$

Объем второго возможного цилиндра:

$V_2 = \frac{S R_2}{2} = \frac{S}{8}\left(\sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} - \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}\right)$

Оба решения являются верными. Заметим, что для существования таких цилиндров необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $l^2 - \frac{2S}{\pi} \ge 0$, то есть $\pi l^2 \ge 2S$.

Так как в задаче не указано дополнительных условий (например, соотношение между высотой и диаметром), то существуют два возможных значения объема.

Ответ: $V = \frac{S}{8}\left(\sqrt{l^2 + \frac{2S}{\pi}} \pm \sqrt{l^2 - \frac{2S}{\pi}}\right)$