Номер 425, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

425. Плоскость, параллельная оси цилиндра, разделяет боковую поверхность в отношении 3 : 1. Найдите площадь сечения и площадь полной поверхности каждой из полученных частей, учитывая, что образующая цилиндра равна 10 см, а радиус основания — 5 см.

Дано:
Образующая (высота) цилиндра $H = 10$ см.
Радиус основания цилиндра $R = 5$ см.
Плоскость, параллельная оси цилиндра, разделяет его боковую поверхность в отношении $3:1$.

Найдем площадь сечения

Сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая - хорде $a$ в основании цилиндра. Площадь сечения $S_{сеч} = a \cdot H$.
Поскольку плоскость делит боковую поверхность в отношении $3:1$, то она делит и длину окружности основания в том же отношении. Длина окружности основания $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.
Окружность делится на две дуги, $L_1$ и $L_2$.
$L_1 = \frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot 10\pi = \frac{15\pi}{2}$ см.
$L_2 = \frac{1}{4}C = \frac{1}{4} \cdot 10\pi = \frac{5\pi}{2}$ см.
Хорда $a$ стягивает меньшую дугу $L_2$. Найдем центральный угол $\alpha$, который опирается на эту дугу. Длина дуги связана с центральным углом (в радианах) формулой $L = \alpha R$.
$\alpha = \frac{L_2}{R} = \frac{5\pi/2}{5} = \frac{\pi}{2}$ радиан, что соответствует $90^\circ$.
Теперь найдем длину хорды $a$. В основании рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой $a$. Так как угол между радиусами равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора:
$a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
$a = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Теперь можем найти площадь сечения:
$S_{сеч} = a \cdot H = 5\sqrt{2} \cdot 10 = 50\sqrt{2}$ см².
Ответ: Площадь сечения равна $50\sqrt{2}$ см².

Найдем площадь полной поверхности каждой из полученных частей

Полная поверхность каждой части состоит из площади части боковой поверхности цилиндра, площади сечения и удвоенной площади соответствующего сегмента основания.
1. Площади боковых поверхностей частей.
Полная боковая поверхность цилиндра $S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$ см².
Площадь боковой поверхности большей части: $S_{бок1} = \frac{3}{4}S_{бок} = \frac{3}{4} \cdot 100\pi = 75\pi$ см².
Площадь боковой поверхности меньшей части: $S_{бок2} = \frac{1}{4}S_{бок} = \frac{1}{4} \cdot 100\pi = 25\pi$ см².
2. Площади сегментов основания.
Площадь основания (круга): $S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².
Хорда делит круг на два сегмента. Найдем их площади.
Площадь меньшего сегмента $S_{сегм2}$ равна площади сектора с углом $\alpha = 90^\circ$ минус площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.
Площадь сектора: $S_{сектор2} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S_{круга} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 25\pi = \frac{1}{4} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{4}$ см².
Площадь треугольника (прямоугольного): $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}$ см².
Площадь меньшего сегмента: $S_{сегм2} = S_{сектор2} - S_{\triangle} = \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2}$ см².
Площадь большего сегмента: $S_{сегм1} = S_{круга} - S_{сегм2} = 25\pi - (\frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2}) = \frac{100\pi - 25\pi}{4} + \frac{25}{2} = \frac{75\pi}{4} + \frac{25}{2}$ см².
3. Площади полных поверхностей.
Площадь полной поверхности меньшей части:
$S_{полн2} = S_{бок2} + S_{сеч} + 2 \cdot S_{сегм2}$
$S_{полн2} = 25\pi + 50\sqrt{2} + 2 \cdot (\frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2}) = 25\pi + 50\sqrt{2} + \frac{25\pi}{2} - 25 = \frac{50\pi + 25\pi}{2} + 50\sqrt{2} - 25 = \frac{75\pi}{2} + 50\sqrt{2} - 25$ см².

Площадь полной поверхности большей части:
$S_{полн1} = S_{бок1} + S_{сеч} + 2 \cdot S_{сегм1}$
$S_{полн1} = 75\pi + 50\sqrt{2} + 2 \cdot (\frac{75\pi}{4} + \frac{25}{2}) = 75\pi + 50\sqrt{2} + \frac{75\pi}{2} + 25 = \frac{150\pi + 75\pi}{2} + 50\sqrt{2} + 25 = \frac{225\pi}{2} + 50\sqrt{2} + 25$ см².
Ответ: Площадь полной поверхности меньшей части равна $(\frac{75\pi}{2} + 50\sqrt{2} - 25)$ см², а большей части — $(\frac{225\pi}{2} + 50\sqrt{2} + 25)$ см².