Номер 427, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

427. В одно основание цилиндра вписан квадрат со стороной $a$, вершины которого отстоят от центра другого основания также на $a$ (рис. 142). Найдите боковую поверхность цилиндра.

Рис. 142

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти $R$ и $H$, выразив их через заданную сторону квадрата $a$.

1. Найдем радиус основания R.

Квадрат со стороной $a$ вписан в окружность основания цилиндра. Это означает, что диагональ квадрата $d$ является диаметром $D$ этой окружности. Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как диаметр $D = d = a\sqrt{2}$, то радиус основания $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем высоту цилиндра H.

По условию задачи, расстояние от вершины квадрата, лежащей в одном основании, до центра другого основания равно $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра $H$ (катет), радиусом основания $R$ (второй катет) и отрезком длиной $a$, соединяющим вершину квадрата с центром другого основания (гипотенуза).
По теореме Пифагора имеем: $H^2 + R^2 = a^2$.
Подставим найденное ранее значение $R$:$H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2$$H^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2$$H^2 + \frac{a^2}{2} = a^2$$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$$H = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Теперь, зная $R$ и $H$, можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$$S_{бок} = 2 \pi \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{4} = 2 \pi \cdot \frac{2a^2}{4} = 2 \pi \cdot \frac{a^2}{2} = \pi a^2$.

Ответ: $\pi a^2$.