Номер 433, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

433. Цилиндр пересечен плоскостью, которая разделяет его ось на отрезки длинами 12 см и 18 см (рис. 145). Найдите:

а) в каком отношении эта плоскость разделяет площадь боковой поверхности;

б) объем каждой части, учитывая, что радиус основания цилиндра равен 10 см.

Рис. 145

а) в каком отношении эта плоскость разделяет площадь боковой поверхности;

Пусть $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности всего цилиндра, $R$ - радиус основания, а $H$ - полная высота цилиндра. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$.

Из условия задачи, секущая плоскость делит ось цилиндра на отрезки $h_1 = 12$ см и $h_2 = 18$ см. Следовательно, полная высота цилиндра $H = h_1 + h_2 = 12 + 18 = 30$ см.

Когда цилиндр пересекается наклонной плоскостью, площадь боковой поверхности каждой из полученных частей пропорциональна средней высоте этой части. Средняя высота каждой части равна длине соответствующего отрезка оси, на которые плоскость делит эту ось.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади боковых поверхностей двух частей цилиндра.

Площадь боковой поверхности нижней части: $S_1 = 2\pi R h_1 = 2\pi R \cdot 12$.
Площадь боковой поверхности верхней части: $S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi R \cdot 18$.

Найдем отношение этих площадей:

$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi R \cdot 12}{2\pi R \cdot 18} = \frac{12}{18} $

Сократив дробь, получаем:

$ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $

Таким образом, отношение площадей боковых поверхностей равно 2:3.

Ответ: 2:3

б) объем каждой части, учитывая, что радиус основания цилиндра равен 10 см.

Объем каждой из частей, на которые плоскость делит цилиндр, равен произведению площади основания на среднюю высоту соответствующей части. Средняя высота, как и в пункте а), равна длине отрезка оси для этой части.

Радиус основания цилиндра $R = 10$ см.

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$ S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (10)^2 = 100\pi $ см².

Высоты частей (длины отрезков оси) равны $h_1 = 12$ см и $h_2 = 18$ см.

Теперь вычислим объем каждой части:

Объем первой части (нижней):
$ V_1 = S_{осн} \cdot h_1 = 100\pi \cdot 12 = 1200\pi $ см³.

Объем второй части (верхней):
$ V_2 = S_{осн} \cdot h_2 = 100\pi \cdot 18 = 1800\pi $ см³.

Ответ: объемы частей равны $1200\pi$ см³ и $1800\pi$ см³.