Номер 439, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

439. Образующая цилиндра в три раза больше радиуса основания. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите угол между диагональю ее грани и осью цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его образующая (и высота) равна $L$. Согласно условию задачи, образующая в три раза больше радиуса, то есть $L = 3R$.

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Это означает, что ее основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники, вписанные в окружности оснований цилиндра, а высота призмы $H$ равна высоте цилиндра $L$. Таким образом, $H = L = 3R$.

Найдем длину стороны $a$ основания призмы. Так как основание призмы — это равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$, его сторона вычисляется по формуле $a = R\sqrt{3}$.

Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами $a$ (сторона основания) и $H$ (высота призмы). Диагональ этой грани, боковое ребро (высота $H$) и сторона основания ($a$) образуют прямоугольный треугольник.

Нам необходимо найти угол между диагональю боковой грани и осью цилиндра. Ось цилиндра параллельна всем его образующим, а также боковым ребрам вписанной прямой призмы. Следовательно, искомый угол равен углу между диагональю боковой грани и боковым ребром призмы.

Обозначим этот угол как $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, боковым ребром и стороной основания, боковое ребро $H$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$, а сторона основания $a$ — противолежащим катетом. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{H}$

Подставим в эту формулу выражения для $a$ и $H$ через $R$:

$\tan(\alpha) = \frac{R\sqrt{3}}{3R} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$.

$\alpha = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.