Номер 444, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

444. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник с площадью $108 \text{ см}^2$, в котором основание составляет $0,75$ высоты. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая — диаметру его основания $D$.

Площадь этого прямоугольника $S_{сеч}$ дается формулой:

$S_{сеч} = D \cdot H$

По условию задачи, $S_{сеч} = 108$ см², а основание прямоугольника (диаметр цилиндра) составляет 0,75 его высоты:

$D = 0,75H$

Подставим это соотношение в формулу площади и решим уравнение относительно $H$:

$0,75H \cdot H = 108$

$0,75H^2 = 108$

$H^2 = \frac{108}{0,75} = \frac{108}{3/4} = 108 \cdot \frac{4}{3} = 36 \cdot 4 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см

Теперь найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 0,75 \cdot 12 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ см

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см

Далее рассмотрим правильную шестиугольную призму, вписанную в этот цилиндр. Высота призмы $H_{пр}$ равна высоте цилиндра, а основание призмы (правильный шестиугольник) вписано в основание цилиндра (окружность).

$H_{пр} = H = 12$ см

Сторона $a$ правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Таким образом, сторона основания призмы равна радиусу основания цилиндра:

$a = R = 4,5$ см

Площадь основания призмы $S_{осн}$ (площадь правильного шестиугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4,5)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{9}{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{81}{4} = \frac{243\sqrt{3}}{8}$ см²

Объем призмы $V_{пр}$ равен произведению площади ее основания на высоту:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр}$

$V_{пр} = \frac{243\sqrt{3}}{8} \cdot 12 = \frac{243\sqrt{3} \cdot 3}{2} = \frac{729\sqrt{3}}{2} = 364,5\sqrt{3}$ см³

Ответ: $364,5\sqrt{3}$ см³.