Номер 448, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

448. Сторона квадрата длиной $a$ принадлежит касательной прямой цилиндра. Плоскость квадрата образует с осью цилиндра угол $\alpha$, а одна из диагоналей перпендикулярна этой оси (рис. 150). Найдите радиус цилиндрической поверхности.

Рис. 150

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть ось цилиндра совпадает с осью $Oz$, а его поверхность задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — искомый радиус. Из соображений симметрии и для получения однозначного ответа, который не зависит от положения квадрата в пространстве, предположим, что ось цилиндра проходит через центр квадрата. Поместим центр квадрата $M$ в начало координат $(0,0,0)$.

1. Определение ориентации квадрата в пространстве

Плоскость квадрата $\Pi$ образует с осью $Oz$ угол $\alpha$. Это означает, что нормаль $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ образует с осью $Oz$ угол $90^\circ - \alpha$. Мы можем выбрать систему координат так, чтобы вектор нормали лежал в плоскости $Oxz$. Тогда его координаты будут $\vec{n} = (\cos\alpha, 0, \sin\alpha)$.

По условию, одна из диагоналей квадрата перпендикулярна оси цилиндра ($Oz$). Пусть это диагональ $\vec{d_1}$. Это означает, что вектор $\vec{d_1}$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси $Oz$, то есть в плоскости $Oxy$. Так как диагональ также лежит в плоскости квадрата $\Pi$, она должна лежать на линии пересечения плоскостей $\Pi$ и $Oxy$. Линия пересечения этих плоскостей параллельна оси $Oy$. Следовательно, вектор диагонали $\vec{d_1}$ параллелен оси $Oy$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, мы можем записать:$\vec{d_1} = (0, a\sqrt{2}, 0)$.

Вторая диагональ $\vec{d_2}$ должна быть перпендикулярна $\vec{d_1}$ и также лежать в плоскости $\Pi$. Так как $\vec{d_1}$ параллелен оси $Oy$, то $\vec{d_2}$ должен лежать в плоскости $Oxz$. Поскольку $\vec{d_2}$ лежит в плоскости $\Pi$, он должен быть перпендикулярен ее нормали $\vec{n}$. Направление, перпендикулярное $\vec{n}=(\cos\alpha, 0, \sin\alpha)$ в плоскости $Oxz$, задается вектором $(\sin\alpha, 0, -\cos\alpha)$ или $(-\sin\alpha, 0, \cos\alpha)$. Выберем второй вариант. Длина диагонали также равна $a\sqrt{2}$.$\vec{d_2} = (-a\sqrt{2}\sin\alpha, 0, a\sqrt{2}\cos\alpha)$.

2. Определение векторов сторон квадрата

Стороны квадрата можно представить как полусуммы и полуразности векторов диагоналей. Пусть $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ — векторы, параллельные сторонам квадрата, с длинами равными $a$.$\vec{s_1} = \frac{1}{2}(\vec{d_1} - \vec{d_2}) = \frac{1}{2}(a\sqrt{2}\sin\alpha, a\sqrt{2}, -a\sqrt{2}\cos\alpha) = \frac{a}{\sqrt{2}}(\sin\alpha, 1, -\cos\alpha)$.$\vec{s_2} = \frac{1}{2}(\vec{d_1} + \vec{d_2}) = \frac{1}{2}(-a\sqrt{2}\sin\alpha, a\sqrt{2}, a\sqrt{2}\cos\alpha) = \frac{a}{\sqrt{2}}(-\sin\alpha, 1, \cos\alpha)$. Можно проверить, что $|\vec{s_1}|^2 = |\vec{s_2}|^2 = a^2$ и $\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$.

3. Нахождение радиуса цилиндра

По условию, одна из сторон квадрата принадлежит касательной прямой цилиндра. Это означает, что минимальное расстояние от оси цилиндра ($Oz$) до прямой, содержащей эту сторону, равно радиусу $R$. В силу симметрии выбранного нами расположения квадрата (центр в начале координат), все четыре стороны будут находиться на одинаковом минимальном расстоянии от оси $Oz$. Найдем это расстояние для одной из сторон.

Рассмотрим сторону, параллельную вектору $\vec{s_1}$. Эта сторона соединяет вершины, радиус-векторы которых $M - \frac{1}{2}\vec{s_2}$ и $M + \frac{1}{2}\vec{s_2}$. Нет, это не так. Вершины квадрата имеют радиус-векторы $M \pm \frac{1}{2}\vec{d_1}$ и $M \pm \frac{1}{2}\vec{d_2}$... тоже неверно. Вершины: $M \pm \frac{1}{2}\vec{s_1} \pm \frac{1}{2}\vec{s_2}$.

Рассмотрим сторону, соединяющую вершины $V_1 = \frac{1}{2}\vec{s_1} - \frac{1}{2}\vec{s_2}$ и $V_2 = \frac{1}{2}\vec{s_1} + \frac{1}{2}\vec{s_2}$. Эта сторона параллельна $\vec{s_2}$ и ее середина находится в точке $\frac{1}{2}\vec{s_1}$. Параметрическое уравнение прямой, содержащей эту сторону, имеет вид:$\vec{p}(t) = \frac{1}{2}\vec{s_1} + t\vec{s_2}$, где $t$ - параметр.

Координаты точки на этой прямой:$x(t) = \frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}\sin\alpha + t\frac{a}{\sqrt{2}}(-\sin\alpha) = \frac{a\sin\alpha}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}-t)$.$y(t) = \frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}} + t\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}+t)$.$z(t) = \frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}(-\cos\alpha) + t\frac{a}{\sqrt{2}}\cos\alpha = \frac{a\cos\alpha}{\sqrt{2}}(t-\frac{1}{2})$.

Квадрат расстояния от точки на прямой до оси $Oz$ равен $d^2 = x^2 + y^2$.$d^2(t) = \left(\frac{a\sin\alpha}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}-t)\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}+t)\right)^2 = \frac{a^2}{2}\left[\sin^2\alpha(\frac{1}{4}-t+t^2) + (\frac{1}{4}+t+t^2)\right]$.$d^2(t) = \frac{a^2}{2}\left[t^2(1+\sin^2\alpha) + t(1-\sin^2\alpha) + \frac{1}{4}(1+\sin^2\alpha)\right]$.

Чтобы найти минимальное расстояние, найдем минимум этой квадратичной функции по $t$. Возьмем производную по $t$ и приравняем к нулю:$\frac{d(d^2)}{dt} = \frac{a^2}{2}\left[2t(1+\sin^2\alpha) + (1-\sin^2\alpha)\right] = 0$.$2t(1+\sin^2\alpha) = -(1-\sin^2\alpha) = \sin^2\alpha - 1$.$t_{min} = \frac{\sin^2\alpha - 1}{2(1+\sin^2\alpha)} = -\frac{\cos^2\alpha}{2(1+\sin^2\alpha)}$.

Сторона квадрата соответствует отрезку, где $t \in [-1/2, 1/2]$. Так как $0 \le \cos^2\alpha \le 1$ и $1 \le 1+\sin^2\alpha \le 2$, то $-\frac{1}{2} \le t_{min} \le 0$, то есть точка минимума лежит на отрезке, соответствующем стороне.

Подставим $t_{min}$ в выражение для $d^2(t)$ чтобы найти $R^2$:$R^2 = \frac{a^2}{2}\left[t_{min}^2(1+\sin^2\alpha) + t_{min}(1-\sin^2\alpha) + \frac{1}{4}(1+\sin^2\alpha)\right]$.$R^2 = \frac{a^2}{2}\left[\frac{\cos^4\alpha}{4(1+\sin^2\alpha)^2}(1+\sin^2\alpha) - \frac{\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)}{2(1+\sin^2\alpha)} + \frac{1+\sin^2\alpha}{4}\right]$.$R^2 = \frac{a^2}{8(1+\sin^2\alpha)}\left[\cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha) + (1+\sin^2\alpha)^2\right]$. Используя $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$:$R^2 = \frac{a^2}{8(1+\sin^2\alpha)}\left[\cos^4\alpha - 2\cos^4\alpha + (1+\sin^2\alpha)^2\right]$.$R^2 = \frac{a^2}{8(1+\sin^2\alpha)}\left[(1+\sin^2\alpha)^2 - \cos^4\alpha\right]$. Разложим разность квадратов: $(1+\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2 = (1+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(1+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$. Так как $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:Первая скобка: $1+\sin^2\alpha-(1-\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha$. Вторая скобка: $1+1=2$. Произведение скобок: $(2\sin^2\alpha)(2) = 4\sin^2\alpha$.

Подставляем обратно в выражение для $R^2$:$R^2 = \frac{a^2}{8(1+\sin^2\alpha)}[4\sin^2\alpha] = \frac{a^2\sin^2\alpha}{2(1+\sin^2\alpha)}$.

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус (угол $\alpha$ между прямой и плоскостью обычно находится в диапазоне $[0, 90^\circ]$, поэтому $\sin\alpha \ge 0$):$R = \sqrt{\frac{a^2\sin^2\alpha}{2(1+\sin^2\alpha)}} = \frac{a\sin\alpha}{\sqrt{2(1+\sin^2\alpha)}}$.

Ответ: $R = \frac{a\sin\alpha}{\sqrt{2(1+\sin^2\alpha)}}$.