Номер 454, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

454. Найдите сумму всех плоских углов:

а) четырехугольной пирамиды;

б) $n$-угольной пирамиды.

а)

Сумма всех плоских углов пирамиды складывается из суммы углов основания и суммы углов всех боковых граней.

1. Сумма углов основания. В основании четырехугольной пирамиды лежит четырехугольник. Сумма углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для четырехугольника $n=4$, поэтому сумма его углов равна:
$S_{осн} = (4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

2. Сумма углов боковых граней. Четырехугольная пирамида имеет 4 боковые грани, и каждая из них является треугольником. Сумма углов в одном треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, сумма углов всех четырех боковых граней равна:
$S_{бок} = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

3. Общая сумма плоских углов. Чтобы найти общую сумму, сложим сумму углов основания и сумму углов боковых граней:
$S_{общ} = S_{осн} + S_{бок} = 360^\circ + 720^\circ = 1080^\circ$.

Ответ: $1080^\circ$.

б)

Аналогично решим задачу для n-угольной пирамиды.

1. Сумма углов основания. В основании лежит n-угольник. Сумма его внутренних углов равна:
$S_{осн} = (n-2) \cdot 180^\circ$.

2. Сумма углов боковых граней. У n-угольной пирамиды есть n боковых граней, каждая из которых — треугольник. Сумма углов одного треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, сумма углов всех n боковых граней составляет:
$S_{бок} = n \cdot 180^\circ$.

3. Общая сумма плоских углов. Сложим сумму углов основания и сумму углов боковых граней:
$S_{общ} = S_{осн} + S_{бок} = (n-2) \cdot 180^\circ + n \cdot 180^\circ$.

Упростим полученное выражение:
$S_{общ} = (n \cdot 180^\circ - 2 \cdot 180^\circ) + n \cdot 180^\circ = 2n \cdot 180^\circ - 360^\circ = (2n - 2) \cdot 180^\circ = 2(n-1) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 360^\circ$.

Ответ: $(2n-2) \cdot 180^\circ$ (или $(n-1) \cdot 360^\circ$).