Номер 453, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

453. Один цилиндр описан около правильной треугольной призмы, а другой вписан в нее (рис. 153). Найдите отношения объемов и полных поверхностей цилиндров, учитывая, что диагональ боковой грани образует с боковым ребром угол $30^\circ$.

Рис. 153

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $H$. Один цилиндр описан около призмы (назовем его первым), а другой вписан в нее (назовем его вторым). Высоты обоих цилиндров равны высоте призмы $H$.

Радиус основания описанного цилиндра ($R$) равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус основания вписанного цилиндра ($r$) равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из этих формул видно, что $R = 2r$.

Найдем связь между высотой $H$ и стороной основания $a$. Боковая грань призмы — это прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани образует с боковым ребром (высотой $H$) угол $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, стороной основания и диагональю, тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($a$) к прилежащему ($H$): $\tan(30^\circ) = \frac{a}{H}$.

Отсюда $H = \frac{a}{\tan(30^\circ)} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти отношения объемов и площадей поверхностей.

Отношение объемов

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi \cdot (\text{радиус})^2 \cdot (\text{высота})$.
Объем описанного цилиндра: $V_1 = \pi R^2 H$.
Объем вписанного цилиндра: $V_2 = \pi r^2 H$.

Найдем их отношение: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R^2 H}{\pi r^2 H} = \frac{R^2}{r^2} = (\frac{R}{r})^2$.

Так как $R = 2r$, то: $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{2r}{r})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.

Отношение полных поверхностей

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2\pi \cdot (\text{радиус}) \cdot (\text{радиус} + \text{высота}) = 2\pi R(R+H)$.
Площадь полной поверхности описанного цилиндра: $S_1 = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R+H)$.
Площадь полной поверхности вписанного цилиндра: $S_2 = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi r(r+H)$.

Найдем их отношение: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi R(R+H)}{2\pi r(r+H)} = \frac{R(R+H)}{r(r+H)}$.

Для вычисления нам нужно выразить все переменные через одну, например, через $r$. Мы знаем, что $R = 2r$. Найдем $H$ через $r$. Из формулы $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ выразим $a = 2r\sqrt{3}$. Тогда $H = a\sqrt{3} = (2r\sqrt{3})\sqrt{3} = 6r$.

Подставим выражения для $R$ и $H$ в формулу отношения: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2r(2r+6r)}{r(r+6r)} = \frac{2r(8r)}{r(7r)} = \frac{16r^2}{7r^2} = \frac{16}{7}$.

Ответ: 16/7.