Номер 459, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

459. Докажите, что все плоскости, проведенные через вершину пирамиды перпендикулярно ребрам ее основания, пересекаются по одной прямой — высоте пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а плоскость ее основания — $\pi$. Обозначим через $h$ прямую, содержащую высоту пирамиды. По определению, прямая $h$ проходит через вершину $S$ и перпендикулярна плоскости основания $\pi$.

Рассмотрим любую из плоскостей, указанных в условии задачи. Обозначим ее $\alpha$. По условию, эта плоскость проходит через вершину $S$ и перпендикулярна некоторому ребру основания, которое мы обозначим $a$. Ребро $a$ целиком лежит в плоскости основания $\pi$.

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $a$ (или любой вектор, параллельный ей) является нормалью к плоскости $\alpha$.

Теперь докажем, что прямая $h$ лежит в плоскости $\alpha$. Для этого достаточно показать, что прямая $h$ проходит через точку $S$ (которая уже лежит в $\alpha$) и ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к плоскости $\alpha$.

1. Прямая $h$ проходит через точку $S$ по своему определению.

2. Направляющий вектор прямой $h$ перпендикулярен плоскости $\pi$, так как $h$ — это прямая, содержащая высоту. Нормаль к плоскости $\alpha$ — это прямая $a$, которая лежит в плоскости $\pi$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, направляющий вектор прямой $h$ перпендикулярен любой прямой (и любому вектору) в плоскости $\pi$. Следовательно, направляющий вектор прямой $h$ перпендикулярен прямой $a$.

Таким образом, прямая $h$ проходит через точку $S$ на плоскости $\alpha$, и ее направляющий вектор перпендикулярен нормали к плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $h$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Так как мы выбрали плоскость $\alpha$ и ребро $a$ произвольно, это рассуждение верно для всех плоскостей, проведенных через вершину пирамиды перпендикулярно ребрам ее основания. Это означает, что прямая $h$ принадлежит каждой из этих плоскостей и, следовательно, является их общей линией пересечения.

Поскольку прямая $h$ по определению является прямой, содержащей высоту пирамиды, утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано.