Номер 462, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

462. Докажите, что отрезки, которые соединяют середины противоположных ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке и разделяются ею пополам (рис. 156).

Рис. 156

Пусть дана треугольная пирамида (тетраэдр) $ABCD$. Противоположными рёбрами в ней являются три пары: $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$.

Обозначим середины этих рёбер следующими буквами:

• $K$ – середина ребра $AB$
• $L$ – середина ребра $CD$
• $M$ – середина ребра $AC$
• $N$ – середина ребра $BD$
• $P$ – середина ребра $AD$
• $Q$ – середина ребра $BC$

Нам необходимо доказать, что отрезки $KL$, $MN$ и $PQ$, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Для доказательства используем свойство средней линии треугольника.

1. Рассмотрим отрезки MN и PQ.

Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$.

• В треугольнике $ADC$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AC$ и $AD$. Следовательно, $MP$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, $MP \parallel DC$ и $MP = \frac{1}{2}DC$.
• В треугольнике $BDC$ отрезок $NQ$ соединяет середины сторон $BD$ и $BC$. Следовательно, $NQ$ является средней линией треугольника $BDC$. По свойству средней линии, $NQ \parallel DC$ и $NQ = \frac{1}{2}DC$.

Таким образом, мы имеем $MP \parallel NQ$ и $MP = NQ$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $MPNQ$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма ($MN$ и $PQ$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

2. Рассмотрим отрезки KL и MN.

Теперь рассмотрим четырехугольник $KNLM$.

• В треугольнике $ABC$ отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.
• В треугольнике $DBC$ отрезок $LN$ соединяет середины сторон $CD$ и $BD$. Но это неверные точки. Рассмотрим четырехугольник $KMLN$. Нам нужны отрезки $KN$ и $LM$. Рассмотрим четырехугольник $KNLM$: В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Значит, $KN$ — средняя линия, $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$. В треугольнике $ACD$ отрезок $ML$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$. Значит, $ML$ — средняя линия, $ML \parallel AD$ и $ML = \frac{1}{2}AD$.

Таким образом, мы имеем $KN \parallel ML$ и $KN = ML$. Значит, четырехугольник $KNLM$ — параллелограмм.

Его диагонали ($KL$ и $MN$) пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

3. Заключение.

Из пункта 1 следует, что отрезки $MN$ и $PQ$ пересекаются в середине отрезка $MN$.

Из пункта 2 следует, что отрезки $KL$ и $MN$ пересекаются в середине отрезка $MN$.

Следовательно, все три отрезка ($KL$, $MN$ и $PQ$) пересекаются в одной и той же точке — середине отрезка $MN$. Так как эта точка является также серединой $PQ$ (из пункта 1) и серединой $KL$ (из пункта 2), то все три отрезка пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.