Номер 461, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

461. Докажите, что прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольной пирамиды и точку пересечения медиан противоположной грани, пересекаются в одной точке и разделяются ею в отношении $3:1$, считая от вершины (рис. 155).

Рис. 155

Пусть дана треугольная пирамида (тетраэдр) $SABC$ с вершинами в точках $S, A, B, C$. Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку $O'$ в качестве начала координат и зададим радиус-векторы вершин пирамиды: $\vec{s}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Прямая, проходящая через вершину пирамиды и точку пересечения медиан (центроид) противоположной грани, называется медианой тетраэдра.

Найдем радиус-вектор точки $M_S$ — точки пересечения медиан грани $ABC$. Эта точка является центроидом треугольника $ABC$, и ее радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:

$\vec{m}_S = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Аналогично, найдем радиус-вектор точки $M_A$ — центроида грани $SBC$:

$\vec{m}_A = \frac{\vec{s} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Рассмотрим две медианы тетраэдра: $SM_S$ и $AM_A$. Произвольная точка $P$ на отрезке $SM_S$ может быть задана радиус-вектором $\vec{p}$, который является линейной комбинацией векторов $\vec{s}$ и $\vec{m}_S$:

$\vec{p} = (1-t)\vec{s} + t\vec{m}_S = (1-t)\vec{s} + t\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$, где $t \in [0, 1]$.

Точно так же произвольная точка $Q$ на отрезке $AM_A$ задается радиус-вектором $\vec{q}$:

$\vec{q} = (1-k)\vec{a} + k\vec{m}_A = (1-k)\vec{a} + k\frac{\vec{s} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$, где $k \in [0, 1]$.

Если эти две медианы пересекаются в некоторой точке $O$, то ее радиус-вектор $\vec{o}$ должен удовлетворять обоим уравнениям, то есть $\vec{p} = \vec{q}$ для некоторых значений $t$ и $k$. Приравняем выражения для $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$(1-t)\vec{s} + \frac{t}{3}\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c} = (1-k)\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{s} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$

Сгруппируем члены с одинаковыми векторами:

$(1-t-\frac{k}{3})\vec{s} + (\frac{t}{3}-1+k)\vec{a} + (\frac{t}{3}-\frac{k}{3})\vec{b} + (\frac{t}{3}-\frac{k}{3})\vec{c} = \vec{0}$

Поскольку вершины тетраэдра $S, A, B, C$ не лежат в одной плоскости, векторы, соединяющие одну вершину с тремя другими (например, $\vec{SA} = \vec{a}-\vec{s}$, $\vec{SB} = \vec{b}-\vec{s}$, $\vec{SC} = \vec{c}-\vec{s}$), линейно независимы. Это свойство позволяет нам приравнять коэффициенты при векторах $\vec{s}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ к нулю (так как сумма коэффициентов в полученном равенстве равна 0). Получаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 1-t-\frac{k}{3} = 0 \\ \frac{t}{3}-1+k = 0 \\ \frac{t}{3}-\frac{k}{3} = 0 \end{array} \right.$

Из третьего уравнения следует, что $t=k$. Подставим это в первое уравнение:

$1 - t - \frac{t}{3} = 0 \implies 1 = t + \frac{t}{3} \implies 1 = \frac{4t}{3} \implies t = \frac{3}{4}$

Следовательно, $k = t = \frac{3}{4}$. Поскольку $t$ и $k$ находятся в интервале $[0, 1]$, точка пересечения лежит на отрезках $SM_S$ и $AM_A$.

Найдем радиус-вектор точки пересечения $O$, подставив $t = 3/4$ в уравнение для $\vec{p}$:

$\vec{o} = (1 - \frac{3}{4})\vec{s} + \frac{3/4}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{s} + \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{o} = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Полученное выражение для радиус-вектора точки пересечения $O$ симметрично относительно всех четырех вершин $S, A, B, C$. Это означает, что если бы мы рассмотрели любую другую пару медиан (например, $BM_B$ и $CM_C$), мы бы получили ту же самую точку пересечения. Следовательно, все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке $O$, которая является его центроидом.

Теперь определим, в каком отношении точка $O$ делит каждую медиану. Для медианы $SM_S$ точка $O$ делит отрезок в отношении $t : (1-t)$. Поскольку мы нашли $t = 3/4$, отношение равно:

$\frac{SO}{OM_S} = \frac{t}{1-t} = \frac{3/4}{1-3/4} = \frac{3/4}{1/4} = \frac{3}{1}$

Таким образом, точка $O$ делит медиану $SM_S$ в отношении $3:1$, считая от вершины $S$. В силу симметрии, этот результат справедлив для всех четырех медиан тетраэдра.

Ответ: Доказано, что все четыре прямые, соединяющие вершину пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной грани, пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины.