Номер 455, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

455. Докажите, что плоскость, параллельная двум противоположным ребрам треугольной пирамиды, пересекает ее по параллелограмму.

Пусть дана треугольная пирамида, например $DABC$, и два её противоположных (скрещивающихся) ребра, $AD$ и $BC$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ параллельна этим рёбрам, то есть $\alpha \parallel AD$ и $\alpha \parallel BC$. Предположим, что плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AB$, $AC$, $CD$ и $DB$ в точках $M$, $N$, $Q$ и $P$ соответственно. В сечении образуется четырёхугольник $MNQP$. Докажем, что $MNQP$ — параллелограмм.

Рассмотрим грань $ABC$. Плоскость этой грани $(ABC)$ содержит ребро $BC$. Так как секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна $BC$, то линия их пересечения $MN$ также параллельна $BC$ (согласно свойству: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает плоскость, содержащую эту прямую, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой). Итак, $MN \parallel BC$. Аналогично, рассмотрим грань $DBC$. Плоскость этой грани $(DBC)$ также содержит ребро $BC$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(DBC)$ — отрезок $PQ$ — параллелен $BC$. Итак, $PQ \parallel BC$. Поскольку $MN \parallel BC$ и $PQ \parallel BC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $MN \parallel PQ$.

Теперь рассмотрим грань $ABD$. Плоскость этой грани $(ABD)$ содержит ребро $AD$. Так как плоскость $\alpha$ по условию параллельна $AD$, то линия их пересечения $MP$ параллельна $AD$. Итак, $MP \parallel AD$. Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Плоскость этой грани $(ACD)$ также содержит ребро $AD$. Следовательно, линия пересечения $NQ$ параллельна $AD$. Итак, $NQ \parallel AD$. Поскольку $MP \parallel AD$ и $NQ \parallel AD$, то $MP \parallel NQ$.

Таким образом, в четырёхугольнике $MNQP$ противоположные стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ и $MP \parallel NQ$). По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Противоположные стороны многоугольника, полученного в сечении, параллельны соответствующим рёбрам пирамиды. Так как плоскость параллельна двум противоположным рёбрам, то противоположные стороны сечения попарно параллельны друг другу. Следовательно, сечение является параллелограммом.