Номер 456, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

456. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $60^\circ$ тогда и только тогда, когда противоположные боковые ребра перпендикулярны.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда» необходимо доказать два взаимно обратных утверждения.

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$ с вершиной $S$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а все боковые ребра равны между собой. Обозначим длину бокового ребра как $l$ ($SA = SB = SC = SD = l$), а сторону квадрата в основании как $a$ ($AB = BC = CD = DA = a$).

1. Доказательство того, что если плоский угол при вершине равен 60°, то противоположные боковые ребра перпендикулярны.

Пусть плоский угол при вершине равен $60^\circ$. Плоский угол при вершине — это угол боковой грани при вершине $S$, например, $\angle ASB$. Итак, дано: $\angle ASB = 60^\circ$.

Боковая грань $SAB$ представляет собой равнобедренный треугольник, так как $SA = SB = l$. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, треугольник $SAB$ является равносторонним. Отсюда следует, что длина стороны основания равна длине бокового ребра: $a = l$.

Теперь рассмотрим пару противоположных боковых ребер, например, $SA$ и $SC$. Вместе с диагональю основания $AC$ они образуют треугольник $SAC$. Этот треугольник также является равнобедренным, так как $SA = SC = l$.

Длина диагонали квадрата $AC$ со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора: $AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AC = a\sqrt{2}$. Так как мы установили, что $a=l$, то $AC = l\sqrt{2}$.

Проверим для треугольника $SAC$ выполнение обратной теоремы Пифагора:

$SA^2 + SC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.

$AC^2 = (l\sqrt{2})^2 = 2l^2$.

Поскольку $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$. Таким образом, $\angle ASC = 90^\circ$, что означает, что ребра $SA$ и $SC$ перпендикулярны.

Аналогично для другой пары противоположных ребер $SB$ и $SD$ в треугольнике $SBD$ можно доказать их перпендикулярность.

2. Доказательство того, что если противоположные боковые ребра перпендикулярны, то плоский угол при вершине равен 60°.

Пусть противоположные боковые ребра перпендикулярны. Например, $SA \perp SC$. Это означает, что угол между ними $\angle ASC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Он равнобедренный ($SA = SC = l$) и, по условию, прямоугольный. По теореме Пифагора найдем его гипотенузу $AC$:

$AC^2 = SA^2 + SC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.

Отсюда $AC = l\sqrt{2}$.

С другой стороны, $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $a$, и ее длина равна $a\sqrt{2}$.

Приравнивая два выражения для длины $AC$, получаем $l\sqrt{2} = a\sqrt{2}$, откуда следует $l=a$.

Теперь найдем величину плоского угла при вершине, например, $\angle ASB$. Этот угол находится в треугольнике $SAB$, стороны которого равны $SA=l$, $SB=l$ и $AB=a$.

Так как мы доказали, что $a=l$, все стороны треугольника $SAB$ равны $l$. Следовательно, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, поэтому $\angle ASB = 60^\circ$.

Таким образом, мы доказали оба утверждения, а значит, и исходное утверждение целиком.

Ответ: Утверждение доказано.