Номер 450, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

450. Ребро куба равно $a$. Найдите радиус цилиндрической поверхности, осью которой является диагональ куба и которая касается:

а) ребра куба;

б) диагонали грани куба.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим одну из вершин куба в начало координат $O(0,0,0)$, а три ребра, выходящие из этой вершины, направим вдоль осей координат. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: $O(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $D_1(0,0,a)$, $B(a,a,0)$, $D(a,0,a)$, $C_1(0,a,a)$ и $B_1(a,a,a)$.

В качестве оси цилиндрической поверхности выберем диагональ куба $OB_1$. Эта прямая проходит через точки $O(0,0,0)$ и $B_1(a,a,a)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_1} = (a,a,a)$, или, для упрощения, можно взять коллинеарный вектор $\vec{s_1} = (1,1,1)$.

Радиус цилиндрической поверхности — это кратчайшее расстояние от ее оси до прямой, которой она касается. Это расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, которое можно найти по формуле:$d = \frac{|(\vec{M_2} - \vec{M_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$где $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ — направляющие векторы прямых, а $M_1$ и $M_2$ — точки, лежащие на этих прямых. В нашем случае $M_1$ — это точка $O(0,0,0)$ на оси цилиндра.

а) ребра куба;

Цилиндрическая поверхность касается ребра куба. Из соображений симметрии, расстояния от диагонали $OB_1$ до всех ребер, которые ее не пересекают, будут одинаковы. Выберем ребро $AD$, которое не пересекает диагональ $OB_1$. Это ребро проходит через точку $A(a,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{AD} = D - A = (a,0,a) - (a,0,0) = (0,0,a)$. В качестве направляющего вектора $\vec{s_2}$ возьмем $\vec{s_2}=(0,0,1)$. Точка $M_2$ на этой прямой — это $A(a,0,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 0)$

Модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

Вектор, соединяющий точки на прямых, $\vec{M_1M_2} = \vec{OA} = A - O = (a,0,0)$.

Найдем смешанное произведение $(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})$:

$(a,0,0) \cdot (1,-1,0) = a \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = a$

Теперь найдем искомый радиус (расстояние):

$R_a = \frac{|a|}{|\sqrt{2}|} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

б) диагонали грани куба.

Цилиндрическая поверхность касается диагонали грани куба. Выберем диагональ грани $AC$, которая не пересекает главную диагональ $OB_1$. Эта прямая проходит через точку $A(a,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{AC} = C - A = (0,a,0) - (a,0,0) = (-a,a,0)$. В качестве направляющего вектора $\vec{s_2}$ возьмем $\vec{s_2}=(-1,1,0)$. Точка $M_2$ на этой прямой — это $A(a,0,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = (-1, -1, 2)$

Модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Вектор, соединяющий точки на прямых, как и в предыдущем пункте, $\vec{M_1M_2} = \vec{OA} = (a,0,0)$.

Найдем смешанное произведение $(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})$:

$(a,0,0) \cdot (-1,-1,2) = a \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = -a$

Теперь найдем искомый радиус (расстояние):

$R_b = \frac{|-a|}{|\sqrt{6}|} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.