Номер 446, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

446. В цилиндр с радиусом основания $R$ вписана правильная шестиугольная призма (рис. 149). Найдите отношения боковых поверхностей и объемов этих тел.

Рис. 149

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра и вписанной в него правильной шестиугольной призмы равна $H$.

Отношение боковых поверхностей

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок. цил.}$) вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2 \pi R H$.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок. пр.}$) равна произведению периметра ее основания ($P_{осн.}$) на высоту $H$. Основанием призмы является правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого шестиугольника ($a$) равна радиусу описанной окружности, то есть $a = R$. Периметр основания призмы равен $P_{осн.} = 6a = 6R$. Тогда площадь боковой поверхности призмы составляет $S_{бок. пр.} = 6R \cdot H = 6RH$.

Найдем отношение площади боковой поверхности призмы к площади боковой поверхности цилиндра:$$ \frac{S_{бок. пр.}}{S_{бок. цил.}} = \frac{6RH}{2 \pi R H} = \frac{3}{\pi} $$Ответ: $\frac{3}{\pi}$.

Отношение объемов

Объем цилиндра ($V_{цил.}$) вычисляется по формуле $V_{цил.} = \pi R^2 H$.

Объем призмы ($V_{пр.}$) равен произведению площади ее основания ($S_{осн. пр.}$) на высоту $H$. Площадь основания (правильного шестиугольника со стороной $R$) равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $R$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$, следовательно, площадь основания призмы $S_{осн. пр.} = 6 \cdot \frac{R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$. Тогда объем призмы составляет $V_{пр.} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2} H$.

Найдем отношение объема призмы к объему цилиндра:$$ \frac{V_{пр.}}{V_{цил.}} = \frac{\frac{3R^2 \sqrt{3}}{2} H}{\pi R^2 H} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} $$Ответ: $\frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}$.