Номер 442, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

442. Найдите отношение боковых поверхностей и отношение объемов цилиндров, из которых один описан, а другой вписан в правильную треугольную призму.

Пусть дана правильная треугольная призма с высотой $h$ и стороной основания $a$. Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник.

Оба цилиндра, вписанный и описанный, имеют ту же высоту $h$, что и призма.

Радиус $R$ основания описанного цилиндра равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Радиус $r$ основания вписанного цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$.
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Найдем отношение радиусов $R$ и $r$:
$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$

Отношение боковых поверхностей
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi \cdot \text{радиус} \cdot \text{высота}$.
Площадь боковой поверхности описанного цилиндра: $S_{опис} = 2 \pi R h$.
Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра: $S_{впис} = 2 \pi r h$.
Найдем их отношение:
$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{2 \pi R h}{2 \pi r h} = \frac{R}{r} = 2$
Ответ: 2

Отношение объемов
Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi \cdot \text{радиус}^2 \cdot \text{высота}$.
Объем описанного цилиндра: $V_{опис} = \pi R^2 h$.
Объем вписанного цилиндра: $V_{впис} = \pi r^2 h$.
Найдем их отношение:
$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\pi R^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{R^2}{r^2} = (\frac{R}{r})^2 = 2^2 = 4$
Ответ: 4