Номер 440, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

440. В цилиндр с образующей $l$ вписана правильная шестиугольная призма объемом $V$. Найдите боковую поверхность цилиндра.

По условию задачи, в цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Это означает, что высота призмы равна образующей (высоте) цилиндра, а основание призмы (правильный шестиугольник) вписано в основание цилиндра (круг).

Обозначим: $l$ – образующая цилиндра и высота призмы, $V$ – объем призмы, $R$ – радиус основания цилиндра, $a$ – сторона основания призмы, $S_{бок}$ – искомая боковая поверхность цилиндра.

Объем призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot l$, где $S_{осн}$ – площадь основания призмы.

Основание призмы – правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a = R$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Так как $a = R$, площадь основания призмы можно выразить через радиус цилиндра:

$S_{осн} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим это выражение в формулу для объема призмы:

$V = \left(\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}\right) \cdot l$

Из этой формулы выразим $R^2$, чтобы в дальнейшем использовать его для нахождения боковой поверхности цилиндра:

$R^2 = \frac{2V}{3l\sqrt{3}}$

Боковая поверхность цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi R l$

Для удобства вычислений возведем это выражение в квадрат:

$S_{бок}^2 = (2\pi R l)^2 = 4\pi^2 R^2 l^2$

Подставим найденное ранее выражение для $R^2$:

$S_{бок}^2 = 4\pi^2 l^2 \left(\frac{2V}{3l\sqrt{3}}\right) = \frac{8\pi^2 l^2 V}{3l\sqrt{3}} = \frac{8\pi^2 V l}{3\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок}^2 = \frac{8\pi^2 V l \sqrt{3}}{3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{8\pi^2 V l \sqrt{3}}{9}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $S_{бок}$:

$S_{бок} = \sqrt{\frac{8\pi^2 V l \sqrt{3}}{9}} = \frac{\sqrt{4\pi^2 \cdot 2 V l \sqrt{3}}}{\sqrt{9}} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{2Vl\sqrt{3}}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{2Vl\sqrt{3}}$