Номер 445, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

445. В цилиндре объемом $V$ окружность основания имеет длину $C$. Около цилиндра описана призма, площадь полной поверхности которой равна $S$. Найдите объем этой призмы.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

По условию задачи, объем цилиндра равен $V$, а длина окружности его основания равна $C$. Это можно записать в виде формул: $V = \pi r^2 h$ и $C = 2 \pi r$.

Из второй формулы выразим радиус $r$: $r = \frac{C}{2 \pi}$.

Теперь подставим это выражение в формулу объема цилиндра, чтобы выразить высоту $h$: $V = \pi \left(\frac{C}{2 \pi}\right)^2 h = \pi \frac{C^2}{4 \pi^2} h = \frac{C^2 h}{4 \pi}$. Отсюда $h = \frac{4 \pi V}{C^2}$.

Далее рассмотрим призму, описанную около цилиндра. Высота призмы равна высоте цилиндра $h$. Основанием призмы является многоугольник, описанный около окружности основания цилиндра (круга радиуса $r$).

Пусть $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $P$ — его периметр. Для многоугольника, описанного около окружности, его площадь связана с периметром и радиусом вписанной окружности ($r$) формулой: $S_{осн} = \frac{1}{2} P \cdot r$.

Полная поверхность призмы $S$ складывается из двух площадей основания и площади боковой поверхности: $S = 2 S_{осн} + P \cdot h$. Подставим в эту формулу выражение для периметра $P = \frac{2 S_{осн}}{r}$: $S = 2 S_{осн} + \frac{2 S_{осн}}{r} \cdot h = 2 S_{осн} \left(1 + \frac{h}{r}\right)$.

Из этого соотношения выразим площадь основания призмы $S_{осн}$: $S_{осн} = \frac{S}{2\left(1 + \frac{h}{r}\right)} = \frac{S \cdot r}{2(r+h)}$.

Объем призмы $V_{призмы}$ равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \frac{S \cdot r \cdot h}{2(r+h)}$.

Чтобы получить ответ, выраженный через данные в условии величины, подставим в эту формулу выражения для $r$ и $h$. Вычислим отдельно необходимые комбинации: Произведение $r \cdot h = \frac{C}{2 \pi} \cdot \frac{4 \pi V}{C^2} = \frac{2V}{C}$. Сумма $r+h = \frac{C}{2 \pi} + \frac{4 \pi V}{C^2} = \frac{C \cdot C^2 + 2\pi \cdot 4 \pi V}{2 \pi C^2} = \frac{C^3 + 8 \pi^2 V}{2 \pi C^2}$.

Теперь подставляем найденные выражения в формулу для объема призмы: $V_{призмы} = \frac{S \cdot (r \cdot h)}{2(r+h)} = \frac{S \cdot \frac{2V}{C}}{2 \cdot \frac{C^3 + 8 \pi^2 V}{2 \pi C^2}} = \frac{2SV}{C} \cdot \frac{2 \pi C^2}{2(C^3 + 8 \pi^2 V)} = \frac{2 \pi S V C}{C^3 + 8 \pi^2 V}$.

Ответ: $ \frac{2 \pi S V C}{C^3 + 8 \pi^2 V} $