Номер 449, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

449. Равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 16 см касается боковой поверхности цилиндра. Плоскость треугольника образует с осью цилиндра угол 30°, а основание треугольника перпендикулярно образующей. Найдите радиус цилиндрической поверхности.

Для решения задачи рассмотрим проекцию данной геометрической конфигурации на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра.

1. Проекция цилиндра.Цилиндр проецируется в круг, радиус которого равен искомому радиусу цилиндрической поверхности $R$. Ось цилиндра $L$ проецируется в центр этого круга, обозначим его точкой $O$.

2. Проекция треугольника.Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB=12$ см и высотой $CM=16$ см.

По условию, основание треугольника $AB$ перпендикулярно образующей цилиндра. Так как все образующие цилиндра параллельны его оси $L$, то основание $AB$ перпендикулярно оси $L$. При проецировании на плоскость, перпендикулярную оси $L$, отрезок $AB$ проецируется в отрезок $A'B'$ равной длины. Таким образом, длина проекции основания $|A'B'| = |AB| = 12$ см.

Высота треугольника $CM$ перпендикулярна основанию $AB$. Плоскость треугольника образует с осью цилиндра угол $30^{\circ}$. Поскольку основание $AB$ перпендикулярно оси $L$, а высота $CM$ перпендикулярна $AB$, то угол между высотой $CM$ и осью $L$ также равен $30^{\circ}$.

Длина проекции высоты $C'M'$ на плоскость, перпендикулярную оси $L$, вычисляется по формуле:$|C'M'| = |CM| \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между отрезком $CM$ и осью $L$.$|C'M'| = 16 \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Поскольку в пространстве $CM \perp AB$, их проекции $C'M'$ и $A'B'$ также будут перпендикулярны. Таким образом, проекцией исходного треугольника является равнобедренный треугольник $A'B'C'$ с основанием $A'B' = 12$ см и высотой $C'M' = 8$ см.

3. Нахождение радиуса.Условие, что треугольник $ABC$ касается боковой поверхности цилиндра, означает, что в проекции треугольник $A'B'C'$ касается окружности радиуса $R$. При этом треугольник не пересекает внутреннюю область круга. Это означает, что искомый радиус $R$ является расстоянием от центра $O$ (проекции оси) до спроецированного треугольника $A'B'C'$.

Поскольку в условии не указано точное взаимное расположение треугольника и оси цилиндра, для получения однозначного ответа следует предположить наиболее симметричную конфигурацию. Такая конфигурация возникает, когда ось цилиндра равноудалена от сторон треугольника в проекции. Это означает, что проекция оси, точка $O$, является центром окружности, вписанной в треугольник $A'B'C'$. В этом случае искомый радиус $R$ будет равен радиусу вписанной окружности (инрадиусу) треугольника $A'B'C'$.

Найдем радиус вписанной окружности для треугольника $A'B'C'$.

• Основание $b' = |A'B'| = 12$ см.
• Высота $h' = |C'M'| = 8$ см.
• Найдем длину боковой стороны $s'$ по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник $A'M'C'$: $s' = |A'C'| = \sqrt{|A'M'|^2 + |C'M'|^2} = \sqrt{(\frac{b'}{2})^2 + (h')^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
• Площадь треугольника $A'B'C'$: $S = \frac{1}{2} \cdot b' \cdot h' = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.
• Полупериметр треугольника $A'B'C'$: $p = \frac{|A'B'| + |A'C'| + |B'C'|}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
• Радиус вписанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{S}{p}$: $R = \frac{48}{16} = 3$ см.

Таким образом, радиус цилиндрической поверхности равен 3 см.
Ответ: 3 см.