Номер 443, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

443. В правильную шестиугольную призму, все ребра которой равны $a$, вписан цилиндр. Найдите его объем.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

Так как цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его высота $h$ равна высоте призмы. По условию задачи все ребра призмы равны $a$, следовательно, высота призмы, а значит и высота цилиндра, равна $a$.

$h = a$

Основание цилиндра представляет собой круг, вписанный в основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус $r$ вписанного круга равен радиусу окружности, вписанной в этот шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник. Найдем эту высоту (апофему шестиугольника) по теореме Пифагора. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a$. Его высота $r$ делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и катетом $a/2$. Тогда второй катет $r$ будет равен:

$r = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная радиус $r$ и высоту $h$ цилиндра, можем вычислить его объем:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot a = \pi \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^3}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi a^3}{4}$