Номер 437, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

437. Диагональ осевого сечения цилиндра длиной 12 см наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$ (рис. 146). Найдите:

а) площадь боковой поверхности цилиндра;

б) объем цилиндра;

в) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы и ее объем;

г) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной четырехугольной призмы и ее объем.

Рис. 146

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого — высота цилиндра $H$, а другая — диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, высота и диаметр образуют прямоугольный треугольник. По условию, гипотенуза (диагональ) $d = 12$ см, а угол между диагональю и плоскостью основания (то есть катетом $D$) $\alpha = 30^\circ$.

Найдем высоту $H$ и диаметр $D$ цилиндра из этого прямоугольного треугольника, используя тригонометрические функции:

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$:

$H = d \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Диаметр $D$ является катетом, прилежащим к углу $30^\circ$:

$D = d \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

а) площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил.} = 2\pi R H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{бок.цил.} = 2\pi \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3}\pi$ см².

Ответ: $36\sqrt{3}\pi$ см².

б) объем цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил.} = \pi R^2 H$.

$V_{цил.} = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \pi \cdot (9 \cdot 3) \cdot 6 = \pi \cdot 27 \cdot 6 = 162\pi$ см³.

Ответ: $162\pi$ см³.

в) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы и ее объем

Высота вписанной призмы равна высоте цилиндра: $H_{призмы} = H = 6$ см. Основанием призмы является правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R = 3\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок. призмы} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания (шестиугольника): $P_6 = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

$S_{бок. призмы 6} = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$ см².

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2$.

$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(3\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 27 = \frac{81\sqrt{3}}{2}$ см².

$V_{призмы 6} = S_6 \cdot H = \frac{81\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 81\sqrt{3} \cdot 3 = 243\sqrt{3}$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности $108\sqrt{3}$ см², объем $243\sqrt{3}$ см³.

г) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной четырехугольной призмы и ее объем

Высота вписанной призмы равна высоте цилиндра: $H_{призмы} = H = 6$ см. Основанием призмы является правильный четырехугольник (квадрат), вписанный в окружность основания цилиндра. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности: $d_{кв} = D = 6\sqrt{3}$ см.

Найдем сторону квадрата $a_4$ по его диагонали, используя формулу $d_{кв} = a_4\sqrt{2}$:

$a_4 = \frac{d_{кв}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок. призмы} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания (квадрата): $P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot 3\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$ см.

$S_{бок. призмы 4} = 12\sqrt{6} \cdot 6 = 72\sqrt{6}$ см².

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (квадрата): $S_4 = a_4^2 = (3\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$ см².

$V_{призмы 4} = S_4 \cdot H = 54 \cdot 6 = 324$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности $72\sqrt{6}$ см², объем $324$ см³.