Номер 430, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

430. Все вершины равнобедренного треугольника с основанием 6 см и высотой 2 см расположены на цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна основанию треугольника и образует угол 30° с его плоскостью (рис. 143). Найдите радиус цилиндрической поверхности.

Рис. 143

Пусть данный равнобедренный треугольник – это $\triangle ABC$ с основанием $AC = 6$ см и высотой $BH = 2$ см, проведенной к основанию. Все три вершины $A$, $B$ и $C$ лежат на поверхности цилиндра.

Радиус цилиндрической поверхности – это расстояние от любой точки на этой поверхности до оси цилиндра. Следовательно, все три вершины треугольника $A, B, C$ равноудалены от оси цилиндра.

Это означает, что ортогональная проекция треугольника $ABC$ на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, будет вписана в окружность. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом $R$ цилиндра.

Найдем параметры спроецированного треугольника $A'B'C'$.

Пусть $\alpha$ – плоскость, в которой лежит $\triangle ABC$, а $\pi$ – плоскость проекции, перпендикулярная оси цилиндра.

Угол между осью цилиндра и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Так как плоскость $\pi$ перпендикулярна оси, угол $\theta$ между плоскостями $\alpha$ и $\pi$ равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

По условию, ось цилиндра перпендикулярна основанию $AC$. Это означает, что прямая $AC$ параллельна плоскости проекции $\pi$. Следовательно, длина проекции основания $A'C'$ равна длине самого основания:

$A'C' = AC = 6$ см.

Высота $BH$ в $\triangle ABC$ перпендикулярна основанию $AC$. Линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\pi$ будет параллельна $AC$, следовательно, высота $BH$ будет перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей. Длина проекции такого отрезка находится по формуле:

$B'H' = BH \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ – угол между плоскостями.

$B'H' = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Таким образом, проекция треугольника, $\triangle A'B'C'$, является равнобедренным треугольником с основанием $A'C' = 6$ см и высотой $B'H' = 1$ см. Теперь найдем радиус $R$ описанной около него окружности.

Поместим $\triangle A'B'C'$ в систему координат так, чтобы точка $H'$ (середина $A'C'$) была в начале координат. Тогда вершины будут иметь координаты: $A'(-3, 0)$, $C'(3, 0)$ и $B'(0, 1)$.

Центр описанной окружности $O'$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию, то есть на оси $Oy$. Пусть его координаты $O'(0, y_c)$.

Расстояние от центра $O'$ до каждой из вершин равно радиусу $R$. Приравняем квадраты расстояний от $O'$ до вершин $B'$ и $C'$:

$(O'B')^2 = (0-0)^2 + (1-y_c)^2 = (1-y_c)^2$

$(O'C')^2 = (3-0)^2 + (0-y_c)^2 = 9 + y_c^2$

$(1-y_c)^2 = 9 + y_c^2$

$1 - 2y_c + y_c^2 = 9 + y_c^2$

$1 - 2y_c = 9$

$-2y_c = 8$

$y_c = -4$

Теперь найдем квадрат радиуса, используя координаты точки $C'$:

$R^2 = (O'C')^2 = 9 + y_c^2 = 9 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.

Отсюда радиус цилиндрической поверхности:

$R = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.