Номер 428, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

428. Материал, из которого изготовлена цилиндрическая труба длиной $l$ и внешним диаметром $D$, занимает объем $V$. Найдите внутренний диаметр трубы.

Объем $V$ материала, из которого изготовлена цилиндрическая труба, равен разности объемов внешнего цилиндра (с диаметром $D$) и внутреннего полого цилиндра (с искомым внутренним диаметром $d$). Длина трубы (высота цилиндров) равна $l$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = S_{основания} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ – радиус основания, а $h$ – высота. В данном случае высота $h=l$.

Внешний радиус трубы $R = \frac{D}{2}$, а внутренний радиус $r = \frac{d}{2}$.

Объем материала трубы $V$ можно выразить следующим образом:$V = V_{внеш} - V_{внутр} = \pi R^2 l - \pi r^2 l$

Подставим выражения для радиусов через диаметры:$V = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 l - \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 l = \frac{\pi D^2 l}{4} - \frac{\pi d^2 l}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi l}{4}$ за скобки:$V = \frac{\pi l}{4} (D^2 - d^2)$

Теперь из этого уравнения выразим искомый внутренний диаметр $d$. Для начала выразим разность квадратов диаметров:$D^2 - d^2 = \frac{4V}{\pi l}$

Далее выразим квадрат внутреннего диаметра $d^2$:$d^2 = D^2 - \frac{4V}{\pi l}$

Наконец, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим внутренний диаметр $d$:$d = \sqrt{D^2 - \frac{4V}{\pi l}}$

Ответ: $d = \sqrt{D^2 - \frac{4V}{\pi l}}$