Номер 423, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

423. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник площадью $20 \text{ см}^2$, в котором измерения отличаются на 1 см. Найдите возможные значения площади полной поверхности такого цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади ее развертки, которая по условию является прямоугольником. Обозначим стороны этого прямоугольника как $a$ и $b$.

Из условия задачи известно, что площадь прямоугольника $S_{бок} = a \cdot b = 20 \text{ см}^2$, а его измерения (стороны) отличаются на 1 см, то есть $|a - b| = 1 \text{ см}$.

Составим и решим систему уравнений. Предположим, что $a > b$, тогда $a - b = 1$, откуда $a = b + 1$. Подставим это выражение в уравнение площади:$(b + 1) \cdot b = 20$$b^2 + b - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$Корни уравнения: $b = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}$. Поскольку длина стороны должна быть положительной, выбираем корень $b = \frac{-1 + 9}{2} = 4$ см. Тогда вторая сторона $a = b + 1 = 4 + 1 = 5$ см. Таким образом, размеры прямоугольника — 4 см и 5 см.

Стороны прямоугольника развертки соответствуют высоте цилиндра $h$ и длине окружности его основания $C$. В связи с этим возможны два случая.

Случай 1. Высота цилиндра $h_1 = 5$ см, а длина окружности основания $C_1 = 4$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
Сначала найдем радиус основания $R_1$ из формулы длины окружности $C = 2\pi R$:$R_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi}$ см.
Теперь вычислим площадь двух оснований:$2S_{осн,1} = 2 \cdot \pi R_1^2 = 2\pi \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{4}{\pi^2} = \frac{8}{\pi} \text{ см}^2$.
Тогда площадь полной поверхности в первом случае:$S_{полн,1} = S_{бок} + 2S_{осн,1} = 20 + \frac{8}{\pi} \text{ см}^2$.

Случай 2. Высота цилиндра $h_2 = 4$ см, а длина окружности основания $C_2 = 5$ см.
Найдем радиус основания $R_2$:$R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{5}{2\pi}$ см.
Вычислим площадь двух оснований:$2S_{осн,2} = 2 \cdot \pi R_2^2 = 2\pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{25}{4\pi^2} = \frac{25}{2\pi} \text{ см}^2$.
Тогда площадь полной поверхности во втором случае:$S_{полн,2} = S_{бок} + 2S_{осн,2} = 20 + \frac{25}{2\pi} \text{ см}^2$.

Ответ: $\left(20 + \frac{8}{\pi}\right) \text{ см}^2$ и $\left(20 + \frac{25}{2\pi}\right) \text{ см}^2$.