Номер 424, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

424. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отделяет от окружности основания дугу в 120° (рис. 141). Найдите площадь сечения, учитывая, что образующая цилиндра равна 15 см, а радиус основания — 6 см.

Рис. 141

Поскольку секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник.

Одна сторона этого прямоугольника равна образующей цилиндра, которая по условию равна его высоте $h = 15$ см.

Другая сторона прямоугольника — это хорда $a$ в основании цилиндра, которая отсекает дугу в $120°$. Для нахождения длины этой хорды рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой.

Этот треугольник является равнобедренным. Две его стороны равны радиусу основания $R = 6$ см, а угол между ними (центральный угол) равен градусной мере дуги, на которую опирается хорда, то есть $\alpha = 120°$.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения длины хорды $a$:$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$

Подставим известные значения $R = 6$ см и $\alpha = 120°$:$a^2 = 2 \cdot 6^2 \cdot (1 - \cos(120°))$Так как $\cos(120°) = -0.5$, получаем:$a^2 = 2 \cdot 36 \cdot (1 - (-0.5)) = 72 \cdot 1.5 = 108$$a = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти площадь сечения $S$, которая равна площади прямоугольника со сторонами $a$ и $h$:$S = a \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 15 = 90\sqrt{3}$ см².

Ответ: $90\sqrt{3}$ см².