Номер 422, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

422. Вершины квадрата расположены на обеих окружностях оснований цилиндра с высотой $3 \text{ см}$ (рис. 140). Найдите диаметр основания цилиндра, учитывая, что сторона квадрата равна $15 \text{ см}$.

Рис. 140

Пусть дан цилиндр с высотой $h = 3$ см и вписанный в него квадрат $ABCD$ со стороной $a = 15$ см. Условие, что вершины квадрата расположены на обеих окружностях оснований, означает, что две вершины лежат на одной окружности, а две другие — на другой.

Предположим, что смежные вершины $A$ и $B$ квадрата лежат на окружности верхнего основания, а смежные вершины $C$ и $D$ — на окружности нижнего основания. Тогда отрезок $AB$ является хордой верхнего основания, а отрезок $CD$ — хордой нижнего основания, причем $AB = CD = 15$ см и $AB \parallel CD$. Стороны $AD$ и $BC$ соединяют окружности оснований, их длина также равна $15$ см.

Для нахождения диаметра основания рассмотрим проекцию квадрата на плоскость нижнего основания. Пусть $A'$ и $B'$ — проекции вершин $A$ и $B$ на эту плоскость. Вершины $C$ и $D$ уже лежат в этой плоскости. Фигура $A'B'CD$ является прямоугольником, все вершины которого лежат на окружности нижнего основания.

Найдем длины сторон этого прямоугольника. Одна сторона, $CD$, совпадает со стороной квадрата: $CD = a = 15$ см. Другая сторона, $A'D$, является проекцией стороны $AD$ на плоскость основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'D$, где катет $AA'$ — это высота цилиндра ($h=3$ см), а гипотенуза $AD$ — сторона квадрата ($a=15$ см). По теореме Пифагора найдем катет $A'D$: $A'D^2 = AD^2 - AA'^2$ $A'D = \sqrt{15^2 - 3^2} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216}$ см.

Диаметр $D$ основания цилиндра равен диагонали вписанного в него прямоугольника $A'B'CD$. Найдем диагональ, например $A'C$, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A'DC$: $D^2 = (A'C)^2 = (A'D)^2 + CD^2$ $D^2 = (\sqrt{216})^2 + 15^2 = 216 + 225 = 441$ $D = \sqrt{441} = 21$ см.

Ответ: 21 см.