Номер 465, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

465. Докажите, что если в треугольной пирамиде вершина проецируется в ортоцентр основания, то суммы квадратов противоположных ребер равны.

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. По условию задачи, вершина $S$ проецируется в точку $H$, что означает, что высота пирамиды $SH$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Сначала докажем, что у такой пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны. Пирамида с таким свойством называется ортоцентрической.

1. Доказательство перпендикулярности ребер $SA$ и $BC$

По определению ортоцентра $H$, прямая $AH$ (содержащая высоту треугольника $ABC$, проведенную из вершины $A$) перпендикулярна стороне $BC$. Таким образом, $AH \perp BC$.
По условию, $SH \perp (ABC)$, из чего следует, что $SH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $SH \perp BC$.
Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $SH$ в плоскости $(SAH)$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(SAH)$.
Ребро $SA$ лежит в плоскости $(SAH)$, следовательно, $SA \perp BC$.

2. Доказательство перпендикулярности ребер $SB$ и $AC$

Аналогично, так как $H$ — ортоцентр, $BH \perp AC$. Также $SH \perp AC$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BH$ и $SH$ в плоскости $(SBH)$, значит $AC \perp (SBH)$. Так как ребро $SB$ лежит в плоскости $(SBH)$, то $SB \perp AC$.

3. Доказательство перпендикулярности ребер $SC$ и $AB$

Аналогично, так как $H$ — ортоцентр, $CH \perp AB$. Также $SH \perp AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CH$ и $SH$ в плоскости $(SCH)$, значит $AB \perp (SCH)$. Так как ребро $SC$ лежит в плоскости $(SCH)$, то $SC \perp AB$.

Итак, мы установили, что противоположные ребра пирамиды попарно перпендикулярны. Теперь, используя это свойство, докажем требуемое равенство.

Введем векторы с началом в вершине $S$. Пусть $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$. Тогда векторы, соответствующие сторонам основания, будут: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.

Условия перпендикулярности противоположных ребер в векторной форме (скалярное произведение равно нулю):

• $SA \perp BC \implies \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
• $SB \perp AC \implies \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• $SC \perp AB \implies \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{a}$

Из этих соотношений следует, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$.

Теперь вычислим суммы квадратов длин противоположных ребер:

$SA^2 + BC^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.

$SB^2 + AC^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})$.

$SC^2 + AB^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + (|\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Поскольку $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$, правые части всех трех выражений равны между собой. Следовательно, равны и левые части:

$SA^2 + BC^2 = SB^2 + AC^2 = SC^2 + AB^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Суммы квадратов противоположных ребер равны: $SA^2 + BC^2 = SB^2 + AC^2 = SC^2 + AB^2$.