Номер 472, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

472. В треугольной пирамиде $ABCD$ все плоские углы при вершине $A$ прямые, ребра $AB$ и $BC$ равны 1 и $\sqrt{37}$ соответственно. Найдите длину ребра $AD$, учитывая, что углы, образуемые ребрами $BD$ и $CD$ с плоскостью $ABC$, отличаются на $45^{\circ}$.

Поскольку по условию все плоские углы при вершине A пирамиды ABCD прямые, ребра AB, AC и AD попарно перпендикулярны. Это позволяет нам ввести декартову систему координат с началом в точке A и осями, направленными вдоль этих ребер.

Пусть точка $A$ — начало координат $(0, 0, 0)$. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AC и ось Oz вдоль ребра AD. Тогда координаты вершин будут:$A(0, 0, 0)$$B(x_B, 0, 0)$$C(0, y_C, 0)$$D(0, 0, z_D)$

Длины ребер, выходящих из вершины A, равны соответствующим координатам: $AB = x_B$, $AC = y_C$, $AD = z_D$. По условию $AB = 1$, значит, $x_B = 1$ и координаты точки $B$ — $(1, 0, 0)$. Длину ребра $AD$ нам нужно найти, обозначим ее $d$. Тогда $z_D = d$ и $D(0, 0, d)$.

Найдем длину ребра AC. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как ребра $AB$ и $AC$ перпендикулярны (лежат на осях Ox и Oy), то $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине A. По теореме Пифагора:$BC^2 = AB^2 + AC^2$По условию $AB = 1$ и $BC = \sqrt{37}$. Подставим эти значения в уравнение:$(\sqrt{37})^2 = 1^2 + AC^2$$37 = 1 + AC^2$$AC^2 = 36$$AC = 6$ (так как длина ребра — положительная величина).Следовательно, $y_C = 6$ и координаты точки $C$ — $(0, 6, 0)$.

Теперь найдем углы, которые ребра $BD$ и $CD$ образуют с плоскостью $ABC$. Плоскость $ABC$ в нашей системе координат является плоскостью $Oxy$ ($z=0$).Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Угол между наклонной (ребром) и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость.

Для ребра $BD$: его проекцией на плоскость $ABC$ является ребро $AB$. Угол $\alpha$ между $BD$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle DBA$ в прямоугольном треугольнике $DAB$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$).Из $\triangle DAB$ имеем:$\tan(\alpha) = \frac{AD}{AB} = \frac{d}{1} = d$

Для ребра $CD$: его проекцией на плоскость $ABC$ является ребро $AC$. Угол $\beta$ между $CD$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle DCA$ в прямоугольном треугольнике $DAC$ (угол $\angle DAC = 90^\circ$).Из $\triangle DAC$ имеем:$\tan(\beta) = \frac{AD}{AC} = \frac{d}{6}$

По условию, эти углы отличаются на $45^\circ$, то есть $|\alpha - \beta| = 45^\circ$. Так как $d$ (длина ребра) — положительная величина, то $d > d/6$, следовательно $\tan(\alpha) > \tan(\beta)$. Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, отсюда следует, что $\alpha > \beta$. Значит, $\alpha - \beta = 45^\circ$.

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)}$Подставим известные значения:$\tan(45^\circ) = 1$$1 = \frac{d - \frac{d}{6}}{1 + d \cdot \frac{d}{6}}$$1 = \frac{\frac{5d}{6}}{1 + \frac{d^2}{6}}$Умножим числитель и знаменатель дроби в правой части на 6:$1 = \frac{5d}{6 + d^2}$Отсюда получаем уравнение:$6 + d^2 = 5d$$d^2 - 5d + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$(d-2)(d-3) = 0$$d_1 = 2$, $d_2 = 3$.

Оба полученных значения являются положительными и удовлетворяют условиям задачи. Таким образом, существуют два возможных значения для длины ребра AD.

Ответ: 2 или 3.