Номер 470, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

470. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник, а боковые ребра пирамиды равны (рис. 157). Найдите двугранный угол при большей стороне основания.

Рис. 157

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ (пусть $∠C = 90°$), а боковые ребра равны: $SA = SB = SC$.

Поскольку боковые ребра пирамиды равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим эту проекцию как точку $O$. Таким образом, $SO$ — высота пирамиды, и, следовательно, $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Наибольшей стороной в прямоугольном треугольнике $ABC$ является гипотенуза $AB$. Следовательно, точка $O$ — это середина гипотенузы $AB$.

Двугранный угол при большей стороне основания — это двугранный угол при ребре $AB$. Этот угол образован плоскостями основания $(ABC)$ и боковой грани $(SAB)$.

Рассмотрим плоскость боковой грани $(SAB)$. Эта плоскость содержит точки $S$, $A$ и $B$. Так как точка $O$ является серединой отрезка $AB$, то она также лежит в плоскости $(SAB)$.

Таким образом, высота пирамиды $SO$ лежит в плоскости боковой грани $(SAB)$.

По признаку перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SO$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Угол между перпендикулярными плоскостями равен $90°$.

Ответ: $90°$.