Номер 471, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

471. В основании пирамиды лежит трапеция с тремя сторонами по 14 см и углом $60^\circ$ (рис. 158). Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что каждое ее боковое ребро равно 25 см.

Рис. 158

Обозначим пирамиду SABCD, где ABCD – трапеция в основании, а S – вершина пирамиды. Согласно условию, в основании пирамиды лежит равнобокая трапеция ABCD, у которой боковые стороны и меньшее основание равны: $AB = BC = CD = 14$ см. Угол при большем основании равен $60^\circ$, то есть $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды равно 25 см: $SA = SB = SC = SD = 25$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее четырех боковых граней: $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$ и $\triangle SDA$.

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SDA}$

1. Найдем стороны основания.

Три стороны трапеции известны ($AB = BC = CD = 14$ см). Найдем длину большего основания AD. Для этого проведем высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Так как трапеция равнобокая, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Катет AH, противолежащий углу $30^\circ$, можно найти как:$AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см. Так как $\triangle ABH = \triangle DCK$, то $CK = 7$ см. Отрезок HK равен меньшему основанию BC, так как HBCK – прямоугольник. $HK = BC = 14$ см. Теперь найдем длину большего основания AD:$AD = AH + HK + CK = 7 + 14 + 7 = 28$ см.

2. Вычислим площади боковых граней.

Боковые грани пирамиды представляют собой равнобедренные треугольники. Грани $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ равны между собой, так как их основания ($AB$, $BC$, $CD$) равны 14 см, а боковые стороны – это ребра пирамиды, равные 25 см. Найдем площадь $\triangle SBC$. Проведем в нем высоту (апофему) SM к основанию BC. Так как треугольник равнобедренный, SM также является медианой, и $MC = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle SMC$ по теореме Пифагора найдем высоту SM:$SM = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см. Площадь $\triangle SBC$:$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$ см². Суммарная площадь трех равных граней:$S_1 = 3 \cdot S_{\triangle SBC} = 3 \cdot 168 = 504$ см².

Теперь найдем площадь грани $\triangle SDA$. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $SA = SD = 25$ см и основанием $AD = 28$ см. Проведем высоту (апофему) SN к основанию AD. SN также является медианой, и $AN = \frac{AD}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle SNA$ по теореме Пифагора найдем высоту SN:$SN = \sqrt{SA^2 - AN^2} = \sqrt{25^2 - 14^2} = \sqrt{625 - 196} = \sqrt{429}$ см. Площадь $\triangle SDA$:$S_{\triangle SDA} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \sqrt{429} = 14\sqrt{429}$ см².

3. Найдем общую площадь боковой поверхности.

Сложим площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_1 + S_{\triangle SDA} = 504 + 14\sqrt{429}$ см².

Ответ: $504 + 14\sqrt{429}$ см².