Номер 476, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

476. В треугольной пирамиде две перпендикулярные грани — правильные треугольники со стороной $a$ (рис. 160). Найдите полную поверхность пирамиды.

Рис. 160

Пусть дана треугольная пирамида SABC, у которой две грани, SAB и SAC, являются правильными (равносторонними) треугольниками со стороной $a$. Эти грани перпендикулярны друг другу, а их общее ребро - SA.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площадей всех ее четырех граней:

$S_{полн} = S_{SAB} + S_{SAC} + S_{ABC} + S_{SBC}$

1. Найдем площади граней SAB и SAC.

Поскольку грани SAB и SAC — правильные треугольники со стороной $a$, их площади равны и вычисляются по формуле площади равностороннего треугольника:

$S_{SAB} = S_{SAC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площади граней ABC и SBC.

Из условия следует, что все ребра, выходящие из вершины S, а также стороны AB и AC, равны $a$: $SA = SB = SC = AB = AC = a$.

Рассмотрим треугольники ABC (основание) и SBC.

• Треугольник ABC равнобедренный, так как $AB = AC = a$.
• Треугольник SBC равнобедренный, так как $SB = SC = a$.

Для нахождения их площадей нужно найти длину общего основания BC.

Пусть M — середина ребра SA. Тогда BM и CM — высоты (а также медианы и биссектрисы) в равносторонних треугольниках SAB и SAC соответственно. Длина высоты в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $BM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как плоскости (SAB) и (SAC) перпендикулярны, а отрезки BM и CM лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения SA (в точке M), то угол между этими отрезками равен углу между плоскостями, то есть $\angle BMC = 90^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник BMC. Он является прямоугольным и равнобедренным. По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC:

$BC^2 = BM^2 + CM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$

$BC = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Теперь, зная все стороны треугольников ABC и SBC ($a, a, \frac{a\sqrt{6}}{2}$), мы видим, что они конгруэнтны. Следовательно, их площади равны: $S_{ABC} = S_{SBC}$.

Найдем площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием $BC = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ и боковыми сторонами $AB = AC = a$. Проведем высоту AH к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому H — середина BC.

$BH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдем высоту AH:

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)^2 = a^2 - \frac{6a^2}{16} = a^2 - \frac{3a^2}{8} = \frac{5a^2}{8}$

$AH = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$

Теперь вычислим площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{10}}{4} = \frac{a^2\sqrt{60}}{16} = \frac{a^2\sqrt{4 \cdot 15}}{16} = \frac{2a^2\sqrt{15}}{16} = \frac{a^2\sqrt{15}}{8}$

Соответственно, $S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{15}}{8}$.

3. Найдем полную поверхность пирамиды.

Сложим площади всех четырех граней:

$S_{полн} = S_{SAB} + S_{SAC} + S_{ABC} + S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{15}}{8} + \frac{a^2\sqrt{15}}{8}$

$S_{полн} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{15}}{8} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2\sqrt{15}}{4}$

Приведем к общему знаменателю и вынесем общие множители:

$S_{полн} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{15}}{4} = \frac{a^2(2\sqrt{3} + \sqrt{15})}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}(2 + \sqrt{5})}{4}$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}(2 + \sqrt{5})}{4}$