Номер 405, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

405. Радиус основания цилиндра равен 13 см, образующая — 10 см. Найдите:

а) площадь полной поверхности цилиндра;

б) объем цилиндра;

в) площадь сечения, проходящего параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от оси;

г) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы и ее объем;

д) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной четырехугольной призмы и ее объем.

Дано: радиус основания цилиндра $R = 13$ см, образующая (высота) $H = 10$ см.

а) площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi R (H + R)$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота (образующая) цилиндра.

Подставим известные значения: $R = 13$ см и $H = 10$ см.

$S_{полн} = 2 \pi \cdot 13 (10 + 13) = 26 \pi \cdot 23 = 598 \pi$ см$^2$.

Ответ: $598 \pi$ см$^2$.

б) объем цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

Подставим известные значения: $R = 13$ см и $H = 10$ см.

$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 10 = \pi \cdot 169 \cdot 10 = 1690 \pi$ см$^3$.

Ответ: $1690 \pi$ см$^3$.

в) площадь сечения, проходящего параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от оси

Сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H = 10$ см, а другая — хорде $a$ в основании цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра. Расстояние от центра окружности до хорды $d = 5$ см, радиус окружности $R = 13$ см. Половина хорды, радиус и перпендикуляр от центра к хорде образуют прямоугольный треугольник, где радиус является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$(a/2)^2 + d^2 = R^2$

$(a/2)^2 + 5^2 = 13^2$

$(a/2)^2 = 169 - 25 = 144$

$a/2 = \sqrt{144} = 12$ см

Следовательно, длина хорды $a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна произведению длины хорды на высоту цилиндра:

$S_{сеч} = a \cdot H = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$.

Ответ: $240$ см$^2$.

г) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы и ее объем

Высота вписанной призмы равна высоте цилиндра: $H_{призмы} = H = 10$ см. Основание призмы — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R = 13$ см.

Периметр основания призмы: $P_6 = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 13 = 78$ см.

Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок.призмы} = P_6 \cdot H = 78 \cdot 10 = 780$ см$^2$.

Площадь основания призмы (правильного шестиугольника): $S_{осн.6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a_6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 13^2 = \frac{3 \sqrt{3} \cdot 169}{2} = \frac{507 \sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн.6} \cdot H = \frac{507 \sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 507 \sqrt{3} \cdot 5 = 2535 \sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: площадь боковой поверхности — $780$ см$^2$, объем — $2535 \sqrt{3}$ см$^3$.

д) площадь боковой поверхности вписанной в цилиндр правильной четырехугольной призмы и ее объем

Высота вписанной призмы равна высоте цилиндра: $H_{призмы} = H = 10$ см. Основание призмы — квадрат, вписанный в окружность основания цилиндра.

Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности: $d_{кв} = 2R = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Сторона квадрата $a_4$ связана с его диагональю формулой $d_{кв} = a_4\sqrt{2}$. Отсюда $a_4 = \frac{d_{кв}}{\sqrt{2}} = \frac{26}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2}$ см.

Периметр основания призмы: $P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot 13\sqrt{2} = 52\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок.призмы} = P_4 \cdot H = 52\sqrt{2} \cdot 10 = 520\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь основания призмы (квадрата): $S_{осн.4} = a_4^2 = (13\sqrt{2})^2 = 169 \cdot 2 = 338$ см$^2$.

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн.4} \cdot H = 338 \cdot 10 = 3380$ см$^3$.

Ответ: площадь боковой поверхности — $520\sqrt{2}$ см$^2$, объем — $3380$ см$^3$.