Номер 401, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

401. Определите геометрическое место точек пространства, которые расположены на расстоянии $d$ от данной прямой $l$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.

В данной задаче условие состоит в том, что каждая точка искомого множества должна находиться в пространстве на заданном расстоянии $d$ от заданной прямой $l$.

1. Рассмотрим плоскость. Сначала представим задачу в двумерном пространстве (на плоскости). Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от прямой $l$ на расстояние $d$, — это две прямые, параллельные прямой $l$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $d$.

2. Перейдем к трехмерному пространству. Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $M$ — произвольная точка, удовлетворяющая условию. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на прямую $l$, где $H$ — точка на прямой $l$. По условию, длина этого перпендикуляра должна быть равна $d$, то есть $MH = d$.

Теперь зафиксируем точку $H$ на прямой $l$. Множество всех точек $M$, для которых $MH = d$ и $MH \perp l$, лежит в плоскости, проходящей через точку $H$ и перпендикулярной прямой $l$. В этой плоскости точки $M$ образуют окружность с центром в точке $H$ и радиусом $d$.

Поскольку точка $H$ может быть любой точкой на прямой $l$, искомое геометрическое место точек является объединением всех таких окружностей. Центры всех этих окружностей лежат на прямой $l$, их радиусы равны $d$, и плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны прямой $l$.

Такое объединение окружностей образует бесконечную цилиндрическую поверхность вращения.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это поверхность цилиндра, у которого:

• Осью является данная прямая $l$.
• Радиус равен данному расстоянию $d$.

Ответ: Цилиндрическая поверхность с осью $l$ и радиусом $d$.