Номер 388, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

388. В основании параллелепипеда лежит ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$. Боковое ребро длиной $b$ проходит через вершину этого угла и образует с его сторонами углы в $45^\circ$. Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда.

Пусть основанием параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $\angle BAD = 60^\circ$. Боковое ребро $AA'$ имеет длину $b$ и образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы по $45^\circ$, то есть $\angle A'AB = \angle A'AD = 45^\circ$.

Диагональные сечения параллелепипеда — это параллелограммы $ACC'A'$ и $BDD'B'$. Их площади равны $S_1 = |AC| \cdot |AA'| \cdot \sin(\angle(\vec{AC}, \vec{AA'}))$ и $S_2 = |BD| \cdot |BB'| \cdot \sin(\angle(\vec{BD}, \vec{BB'}))$.

Рассмотрим ромб $ABCD$.
Диагональ $BD$ лежит напротив угла $\angle BAD = 60^\circ$. В треугольнике $ABD$ стороны $AB=AD=a$ и угол между ними $60^\circ$, следовательно, треугольник $ABD$ равносторонний. Таким образом, длина меньшей диагонали $BD = a$.
Диагональ $AC$ лежит напротив угла $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Таким образом, длина большей диагонали $AC = a\sqrt{3}$.

Площадь этого сечения (параллелограмма) равна $S_1 = |AC| \cdot |AA'| \cdot \sin\gamma_1$, где $\gamma_1$ — угол между вектором бокового ребра $\vec{AA'}$ и вектором диагонали $\vec{AC}$.
Найдем косинус этого угла с помощью скалярного произведения. Вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Найдем скалярное произведение $\vec{AA'} \cdot \vec{AC}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AC} = \vec{AA'} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AA'} \cdot \vec{AB} + \vec{AA'} \cdot \vec{AD}$.
По определению скалярного произведения:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A'AB) = b \cdot a \cdot \cos(45^\circ) = \frac{ab\sqrt{2}}{2}$.
$\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle A'AD) = b \cdot a \cdot \cos(45^\circ) = \frac{ab\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\vec{AA'} \cdot \vec{AC} = \frac{ab\sqrt{2}}{2} + \frac{ab\sqrt{2}}{2} = ab\sqrt{2}$.
С другой стороны, $\vec{AA'} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos\gamma_1 = b \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos\gamma_1$.
Приравнивая два выражения, получаем:
$ab\sqrt{3} \cos\gamma_1 = ab\sqrt{2} \implies \cos\gamma_1 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Теперь найдем синус угла $\gamma_1$:
$\sin\gamma_1 = \sqrt{1 - \cos^2\gamma_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Площадь сечения $ACC'A'$:
$S_1 = |AC| \cdot |AA'| \cdot \sin\gamma_1 = a\sqrt{3} \cdot b \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = ab$.
Ответ: $ab$.

Площадь этого сечения (параллелограмма) равна $S_2 = |BD| \cdot |BB'| \cdot \sin\gamma_2$, где $\gamma_2$ — угол между вектором бокового ребра $\vec{BB'} = \vec{AA'}$ и вектором диагонали $\vec{BD}$.
Найдем косинус этого угла с помощью скалярного произведения. Вектор $\vec{BD}$ является разностью векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Найдем скалярное произведение $\vec{AA'} \cdot \vec{BD}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{BD} = \vec{AA'} \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AA'} \cdot \vec{AD} - \vec{AA'} \cdot \vec{AB}$.
Как мы уже вычислили ранее, $\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = \frac{ab\sqrt{2}}{2}$ и $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = \frac{ab\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\vec{AA'} \cdot \vec{BD} = \frac{ab\sqrt{2}}{2} - \frac{ab\sqrt{2}}{2} = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны, то есть угол $\gamma_2 = 90^\circ$.
Это означает, что диагональное сечение $BDD'B'$ является прямоугольником.
Площадь сечения $BDD'B'$:
$S_2 = |BD| \cdot |BB'| \cdot \sin(90^\circ) = a \cdot b \cdot 1 = ab$.
Ответ: $ab$.