Номер 381, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

381. В правильной четырехугольной призме $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $BC$ и $CD$ (рис. 137). Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $MN$.

Рис. 137

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $MN$ в правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать два подхода: геометрический и координатный.

Способ 1: Геометрический

1. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Таким образом, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $BCD$.
2. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, то есть $MN \parallel BD$.
3. Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $MN$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $AC_1$ и $BD$.
4. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.
5. Прямая $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $AC_1$ на плоскость основания $(ABC)$.
6. Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости ($BD$), перпендикулярна проекции наклонной ($AC$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($AC_1$). Так как $BD \perp AC$, то из теоремы следует, что $BD \perp AC_1$.
7. Поскольку $MN \parallel BD$ и $BD \perp AC_1$, то и прямая $MN$ перпендикулярна прямой $AC_1$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Способ 2: Координатный

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $D$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DA$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$.
2. Пусть сторона основания призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Определим координаты необходимых для решения точек:
$A(0, a, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $C_1(a, 0, h)$.
3. Найдем координаты точек $M$ и $N$, являющихся серединами ребер $BC$ и $CD$:
$M = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$.
$N = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.
4. Найдем направляющие векторы для прямых $AC_1$ и $MN$:
Для прямой $AC_1$: $\vec{v_1} = \vec{AC_1} = (a-0, 0-a, h-0) = (a, -a, h)$.
Для прямой $MN$: $\vec{v_2} = \vec{MN} = (\frac{a}{2}-a, 0-\frac{a}{2}, 0-0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$.
5. Косинус угла $\phi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos \phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + h \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0$.
6. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Это означает, что прямые $AC_1$ и $MN$ также перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.