Номер 376, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

376. Сечение, проведенное в правильной четырехугольной пирамиде через диагональ основания перпендикулярно боковому ребру, является треугольником со сторонами $a$ и $b$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $S-ABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Сечение построено через диагональ основания $BD$ и перпендикулярно боковому ребру $SC$. Обозначим точку пересечения секущей плоскости и ребра $SC$ как $K$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BKD$.

Поскольку пирамида $S-ABCD$ правильная, ее боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$ равны. Отрезки $BK$ и $DK$ являются высотами в этих треугольниках, проведенными из вершин $B$ и $D$ к общему ребру $SC$ (так как по условию плоскость сечения перпендикулярна $SC$). В равных треугольниках высоты, проведенные к соответственным сторонам, равны, поэтому $BK = DK$. Это означает, что треугольник $BKD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

По условию, стороны треугольника сечения равны $a$ и $b$. Так как $\triangle BKD$ — равнобедренный, его стороны могут быть либо $(a, a, b)$, либо $(b, b, a)$.

Введем общие обозначения для сторон равнобедренного треугольника сечения: пусть $s$ — длина боковой стороны ($s = BK = DK$), а $d$ — длина основания ($d = BD$). Пусть $L$ — длина бокового ребра пирамиды ($L = SA = SB = SC = SD$), а $x$ — сторона квадрата в основании ($x = AB$).

Диагональ основания $d$ связана со стороной квадрата $x$ соотношением $d = x\sqrt{2}$.

Рассмотрим боковую грань $\triangle SBC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $SB=SC=L$ и основанием $BC=x$. Отрезок $BK$ является высотой, проведенной к стороне $SC$. Следовательно, $\triangle BKC$ является прямоугольным с гипотенузой $BC$.

Применим теорему Пифагора к $\triangle BKC$:

$BC^2 = BK^2 + KC^2$

Подставляя наши обозначения, получаем:

$x^2 = s^2 + KC^2$

Так как $x = d/\sqrt{2}$, то $x^2 = d^2/2$. Подставим это в уравнение:

$d^2/2 = s^2 + KC^2 \implies KC^2 = d^2/2 - s^2$

Для того, чтобы такая геометрическая конфигурация существовала, необходимо, чтобы $KC$ было действительным числом, то есть $KC^2 > 0$ (случай $KC=0$ соответствует вырожденной пирамиде). Отсюда следует условие: $d^2/2 > s^2$ или $d^2 > 2s^2$.

Теперь рассмотрим $\triangle SBK$. Он также прямоугольный, так как $BK \perp SC$. Гипотенуза — $SB$. По теореме Пифагора:

$SB^2 = SK^2 + BK^2$

$L^2 = (SC - KC)^2 + s^2 = (L - KC)^2 + s^2$

$L^2 = L^2 - 2L \cdot KC + KC^2 + s^2$

$0 = -2L \cdot KC + (KC^2 + s^2)$

Из соотношения $d^2/2 = s^2 + KC^2$ мы можем выразить $s^2 + KC^2 = d^2/2$. Подставим это в последнее уравнение:

$0 = -2L \cdot KC + d^2/2 \implies 2L \cdot KC = d^2/2 \implies KC = \frac{d^2}{4L}$

Теперь у нас есть два выражения для $KC$. Возведем второе в квадрат и приравняем к первому:

$KC^2 = (\frac{d^2}{4L})^2 = \frac{d^4}{16L^2}$

$\frac{d^4}{16L^2} = \frac{d^2}{2} - s^2 = \frac{d^2 - 2s^2}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $L^2$:

$d^4 = 8L^2(d^2 - 2s^2)$

$L^2 = \frac{d^4}{8(d^2 - 2s^2)}$

Это общая формула для бокового ребра. Теперь рассмотрим два возможных случая для сторон сечения.

Случай 1: Боковые стороны сечения равны $a$, а основание равно $b$. В этом случае $s=a$ и $d=b$. Условие существования $d^2 > 2s^2$ принимает вид $b^2 > 2a^2$. Если это условие выполняется, то длина бокового ребра равна:$L^2 = \frac{b^4}{8(b^2 - 2a^2)} \implies L = \frac{b^2}{\sqrt{8(b^2 - 2a^2)}} = \frac{b^2}{2\sqrt{2(b^2 - 2a^2)}}$

Случай 2: Боковые стороны сечения равны $b$, а основание равно $a$. В этом случае $s=b$ и $d=a$. Условие существования $d^2 > 2s^2$ принимает вид $a^2 > 2b^2$. Если это условие выполняется, то длина бокового ребра равна:$L^2 = \frac{a^4}{8(a^2 - 2b^2)} \implies L = \frac{a^2}{\sqrt{8(a^2 - 2b^2)}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2(a^2 - 2b^2)}}$

Условия $b^2 > 2a^2$ и $a^2 > 2b^2$ являются взаимоисключающими. Таким образом, для любой конкретной пары $a$ и $b$ (где $a \ne b$) может выполняться только одно из этих условий, что однозначно определяет, какая из сторон является основанием сечения, и, следовательно, какая формула должна использоваться.

Ответ: Если $b^2 > 2a^2$, то боковое ребро равно $L = \frac{b^2}{2\sqrt{2(b^2 - 2a^2)}}$. Если $a^2 > 2b^2$, то боковое ребро равно $L = \frac{a^2}{2\sqrt{2(a^2 - 2b^2)}}$.