Номер 373, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

373. Боковое ребро параллелепипеда длиной 10 см наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Стороны основания имеют длину 13 см и 21 см, а его диагональ равна 20 см. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда. Для решения задачи необходимо найти оба этих значения.

1. Нахождение высоты параллелепипеда (H)

Высота параллелепипеда $H$, его боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, равный $45°$, является углом между ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом). Высота $H$ является вторым катетом, противолежащим этому углу.

Из условия известно, что длина бокового ребра $l = 10$ см, а угол наклона $\alpha = 45°$.

Связь между этими величинами выражается формулой:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$H = 10 \cdot \sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение площади основания (S_осн)

Основанием параллелепипеда является параллелограмм. Из условия известны длины его сторон $a = 13$ см и $b = 21$ см, а также длина одной из его диагоналей $d = 20$ см.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади одного из этих треугольников. Мы можем найти площадь треугольника со сторонами 13 см, 21 см и 20 см по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + d}{2} = \frac{13 + 21 + 20}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{\triangle} = \sqrt{27 \cdot (27-13) \cdot (27-21) \cdot (27-20)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7}$

Разложим подкоренное выражение на простые множители для упрощения:

$S_{\triangle} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 2 \cdot 7)^2} = 3^2 \cdot 2 \cdot 7 = 9 \cdot 14 = 126$ см².

Площадь основания (параллелограмма) равна:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 126 = 252$ см².

3. Нахождение объема параллелепипеда (V)

Теперь, имея площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = 252 \cdot 5\sqrt{2} = 1260\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $1260\sqrt{2}$ см³.