Номер 367, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

367. В основании параллелепипеда лежит ромб с углом 60°, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°, диагональное сечение, содержащее большую диагональ, перпендикулярно плоскости основания. Найдите отношение площадей диагональных сечений параллелепипеда.

Пусть в основании параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ лежит ромб $ABCD$ со стороной $a$. По условию, один из углов ромба равен $60^{\circ}$, пусть это будет $\angle BAD = 60^{\circ}$. Тогда другой угол равен $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$, например, $\angle ABC = 120^{\circ}$.

Найдем длины диагоналей ромба. Меньшая диагональ $d_1 = BD$ лежит напротив острого угла. Треугольник $ABD$ является равнобедренным ($AB=AD=a$) с углом $60^{\circ}$ между равными сторонами, следовательно, он равносторонний. Таким образом, длина меньшей диагонали $d_1 = a$.

Большая диагональ $d_2 = AC$ лежит напротив тупого угла. Ее длину можно найти по теореме косинусов для треугольника $ABC$:$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^{\circ}) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда $d_2 = a\sqrt{3}$.

Пусть длина бокового ребра параллелепипеда равна $l$. По условию, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}$. Это означает, что высота параллелепипеда $H$ связана с длиной бокового ребра соотношением:$H = l \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Диагональное сечение, содержащее большую диагональ $AC$ (параллелограмм $ACC'A'$), перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что высота этого параллелограмма, проведенная из вершины $A'$ к основанию $AC$, совпадает с высотой всего параллелепипеда $H$.

Обозначим площадь этого сечения через $S_{AC}$. Она равна произведению длины основания $AC$ на высоту $H$:$S_{AC} = d_2 \cdot H = (a\sqrt{3}) \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{3al}{2}$.

Теперь найдем площадь второго диагонального сечения, которое содержит меньшую диагональ $BD$ (параллелограмм $BDD'B'$). Обозначим его площадь как $S_{BD}$. Это параллелограмм со сторонами $BD=a$ и $BB'=l$. Для нахождения его площади $S_{BD} = |\vec{BD} \times \vec{BB'}|$ воспользуемся векторным подходом.

Вектор бокового ребра $\vec{l} = \vec{BB'}$ можно разложить на две компоненты: проекцию на плоскость основания $\vec{p}$ и перпендикулярный к основанию вектор высоты $\vec{H}$. Таким образом, $\vec{l} = \vec{p} + \vec{H}$. Длины этих векторов: $|\vec{p}| = l \cdot \cos(60^{\circ}) = \frac{l}{2}$ и $|\vec{H}| = l \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$. Из условия перпендикулярности сечения $ACC'A'$ основанию следует, что проекция $\vec{p}$ бокового ребра параллельна диагонали $AC$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: $\vec{AC} \perp \vec{BD}$. Поскольку $\vec{p} \parallel \vec{AC}$, то $\vec{p} \perp \vec{BD}$. Вектор высоты $\vec{H}$ перпендикулярен всей плоскости основания, следовательно, $\vec{H} \perp \vec{BD}$.

Площадь сечения $S_{BD}$ равна модулю векторного произведения:$S_{BD} = |\vec{BD} \times \vec{l}| = |\vec{BD} \times (\vec{p} + \vec{H})| = |\vec{BD} \times \vec{p} + \vec{BD} \times \vec{H}|$. Поскольку векторы $\vec{BD}$ и $\vec{p}$ лежат в плоскости основания и перпендикулярны друг другу, их векторное произведение $\vec{BD} \times \vec{p}$ направлено перпендикулярно основанию (параллельно $\vec{H}$).Векторное произведение $\vec{BD} \times \vec{H}$ направлено параллельно $\vec{p}$ (перпендикулярно $\vec{H}$).Следовательно, векторы $\vec{BD} \times \vec{p}$ и $\vec{BD} \times \vec{H}$ взаимно перпендикулярны. Модуль их суммы можно найти по теореме Пифагора:$S_{BD}^2 = |\vec{BD} \times \vec{p}|^2 + |\vec{BD} \times \vec{H}|^2$.

Вычислим модули векторных произведений:$|\vec{BD} \times \vec{p}| = |\vec{BD}| \cdot |\vec{p}| \cdot \sin(90^{\circ}) = a \cdot \frac{l}{2} = \frac{al}{2}$.$|\vec{BD} \times \vec{H}| = |\vec{BD}| \cdot |\vec{H}| \cdot \sin(90^{\circ}) = a \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{al\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу для $S_{BD}^2$:$S_{BD}^2 = (\frac{al}{2})^2 + (\frac{al\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{a^2l^2}{4} + \frac{3a^2l^2}{4} = \frac{4a^2l^2}{4} = a^2l^2$. Отсюда $S_{BD} = al$.

Наконец, найдем отношение площадей диагональных сечений. Отношение площади сечения, содержащего большую диагональ, к площади сечения, содержащего меньшую диагональ:$\frac{S_{AC}}{S_{BD}} = \frac{3al/2}{al} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.