Номер 360, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

360. Стороны основания параллелепипеда равны 3 см и 6 см, а угол между ними — $45^\circ$. Боковое ребро длиной $4\sqrt{3}$ см составляет с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания параллелепипеда ($S_{осн}$)

Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 3$ см и $b = 6$ см, а угол между ними равен $\alpha = 45^\circ$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$. Подставим известные значения в формулу:$S_{осн} = 3 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см².

2. Найдем высоту параллелепипеда ($H$)

Боковое ребро $l$ длиной $4\sqrt{3}$ см составляет с плоскостью основания угол $\beta = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой служит боковое ребро $l$, а угол, противолежащий этому катету, равен $\beta$. Следовательно, высоту можно найти по формуле:$H = l \cdot \sin\beta$. Подставим известные значения:$H = 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

3. Найдем объем параллелепипеда ($V$)

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:$V = S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения:$V = 9\sqrt{2} \cdot 6 = 54\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $54\sqrt{2}$ см³.