Номер 354, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

354. Ребро куба равно $a$. Найдите расстояния от вершины куба до диагоналей граней, которым эта вершина не принадлежит (рис. 129).

Рис. 129

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$. Требуется найти расстояния от одной из его вершин до диагоналей тех граней, которым эта вершина не принадлежит. В силу симметрии куба, эти расстояния будут одинаковы для любой выбранной вершины. Выберем вершину $B_1$.

Вершина $B_1$ принадлежит граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, мы должны найти расстояния от $B_1$ до диагоналей трех других граней:

• Нижней грани $ABCD$ (диагонали $AC$ и $BD$).
• Левой грани $ADD_1A_1$ (диагонали $AD_1$ и $A_1D$).
• Задней грани $DCC_1D_1$ (диагонали $DC_1$ и $D_1C$).

Всего необходимо рассмотреть 6 диагоналей. По симметрии относительно вершины $B_1$ эти диагонали можно разделить на две группы. Расстояния внутри каждой группы будут одинаковы.

Расстояние до диагоналей, исходящих из противоположной вершины

Первая группа состоит из трех диагоналей, которые выходят из вершины $D$, противоположной вершине $B_1$. Это диагонали $BD$, $A_1D$ и $C_1D$. Найдем расстояние от вершины $B_1$ до диагонали $A_1D$.

Для этого рассмотрим треугольник $\triangle B_1A_1D$. Длины его сторон:

• $B_1A_1 = a$ (ребро куба).
• $A_1D = \sqrt{A_1A^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $ADD_1A_1$).
• $B_1D = \sqrt{B_1B^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$ (диагональ куба).

Ребро $B_1A_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $A_1D$. Таким образом, $\triangle B_1A_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1A_1D$ перпендикуляром из вершины $B_1$ к прямой, содержащей катет $A_1D$, является катет $B_1A_1$.

Следовательно, расстояние от вершины $B_1$ до диагонали $A_1D$ равно длине ребра $B_1A_1$, то есть $a$. По симметрии, расстояния от $B_1$ до диагоналей $BD$ и $C_1D$ также равны $a$.

Ответ: $a$

Расстояние до диагоналей, не исходящих из противоположной вершины

Вторая группа состоит из трех оставшихся диагоналей: $AC$, $AD_1$ и $D_1C$. Найдем расстояние от вершины $B_1$ до диагонали $AD_1$.

Для этого рассмотрим треугольник $\triangle B_1AD_1$. Найдем длины его сторон:

• $B_1A = \sqrt{B_1B^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $ABB_1A_1$).
• $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $ADD_1A_1$).
• $B_1D_1$ — диагональ верхней грани, ее длина также равна $a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle B_1AD_1$ равны $a\sqrt{2}$, этот треугольник является равносторонним.

Расстояние от вершины $B_1$ до прямой, содержащей сторону $AD_1$, равно высоте этого равностороннего треугольника, проведенной из вершины $B_1$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $h = s\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $s = a\sqrt{2}$. Подставим это значение в формулу:

$h = (a\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Таким образом, расстояние от вершины $B_1$ до диагонали $AD_1$ равно $a\frac{\sqrt{6}}{2}$. По симметрии, расстояния от $B_1$ до диагоналей $AC$ и $D_1C$ также равны $a\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $a\frac{\sqrt{6}}{2}$

Итак, существуют два возможных значения для искомых расстояний: $a$ и $a\frac{\sqrt{6}}{2}$.