Номер 357, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

357. Высота правильной четырехугольной призмы равна 12 см (рис. 130). Найдите площадь боковой поверхности призмы, учитывая, что расстояние от вершины одного основания до середины диагонали другого равно 13 см.

$A_1$, $D_1$, $C_1$, $B_1$, $A$, $D$, $B$, $C$.

Рис. 130

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании такой призмы лежит квадрат ($ABCD$), а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра, то есть $h = AA_1 = 12$ см.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в основании $ABCD$. Так как основание является квадратом, точка $O$ — это середина диагонали $BD$. По условию задачи, расстояние от вершины верхнего основания (например, $A_1$) до середины диагонали нижнего основания ($O$) равно 13 см. Таким образом, длина отрезка $A_1O = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AO$. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая отрезок $AO$. Значит, $\triangle A_1AO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $A$.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора: $A_1O^2 = AA_1^2 + AO^2$.

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + AO^2$

$169 = 144 + AO^2$

$AO^2 = 169 - 144 = 25$

$AO = \sqrt{25} = 5$ см.

Отрезок $AO$ является половиной диагонали квадрата $ABCD$. Значит, вся диагональ $AC$ равна:

$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Пусть сторона квадрата в основании равна $a$. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.

$AC = a\sqrt{2}$

$10 = a\sqrt{2}$

Отсюда находим сторону основания $a$:

$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Периметр основания (квадрата) равен:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20\sqrt{2} \cdot 12 = 240\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $240\sqrt{2}$ см$^2$.