Номер 355, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

355. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 5 см, а ребро основания — 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного через:

а) боковое ребро и середину противоположного ребра основания;

б) ребро основания и середину противоположного бокового ребра.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям.

По условию задачи, длина бокового ребра равна 5 см, то есть $AA_1 = 5$ см. Длина ребра основания равна 6 см, то есть $AB = BC = CA = 6$ см.

Найдем площадь сечения, проведенного через боковое ребро $AA_1$ и середину $M$ противоположного ребра основания $BC$.

Сечение представляет собой четырехугольник $AA_1M_1M$, где $M_1$ — середина ребра $B_1C_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности $AA_1 \perp AM$. Это означает, что сечение $AA_1M_1M$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = AA_1 \cdot AM$. Сторона $AA_1$ нам известна, $AA_1 = 5$ см. Сторону $AM$ найдем из треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то медиана $AM$ является также и его высотой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Гипотенуза $AC = 6$ см, катет $MC$ равен половине $BC$, то есть $MC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. По теореме Пифагора:$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь сечения:$S_a = AA_1 \cdot AM = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $15\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдем площадь сечения, проведенного через ребро основания $BC$ и середину $K$ противоположного бокового ребра $AA_1$.

Данное сечение является треугольником $BCK$. Основание этого треугольника $BC = 6$ см. Найдем боковые стороны $KB$ и $KC$. Треугольник $KAB$ является прямоугольным, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит $KA \perp AB$.$KA = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.$AB = 6$ см. По теореме Пифагора:$KB^2 = KA^2 + AB^2 = (2.5)^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25$.$KB = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Аналогично, из прямоугольного треугольника $KAC$ находим, что $KC = KB = 6.5$ см. Следовательно, треугольник $BCK$ — равнобедренный с основанием $BC=6$ см и боковыми сторонами $KB=KC=6.5$ см.

Для нахождения площади треугольника $BCK$ проведем его высоту $KM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KMB$:Гипотенуза $KB = 6.5$ см, катет $BM = \frac{1}{2} BC = 3$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $KM$:$KM = \sqrt{KB^2 - BM^2} = \sqrt{(6.5)^2 - 3^2} = \sqrt{42.25 - 9} = \sqrt{33.25}$ см.

Площадь треугольника $BCK$ равна:$S_b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{33.25} = 3\sqrt{\frac{133}{4}} = 3\frac{\sqrt{133}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{133}}{2}$ см$^2$.