Номер 348, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

348. В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ гипотенуза имеет длину $a$ и расположена в плоскости $\alpha$, образующей с плоскостью треугольника угол $30^\circ$. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости $\alpha$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). По условию, один из острых углов равен $45^\circ$, значит, треугольник является равнобедренным ($\angle A = \angle B = 45^\circ$). Гипотенуза $AB$ имеет длину $a$ и лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость треугольника $ABC$ (назовем ее $\beta$) образует с плоскостью $\alpha$ двугранный угол, равный $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая, содержащая гипотенузу $AB$.

Нам необходимо найти расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр как $CH$, где $H$ — точка в плоскости $\alpha$.

В плоскости $\beta$ проведем высоту $CM$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также и медианой. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, длина $CM$ равна:

$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$

Теперь рассмотрим пространственную конструкцию. У нас есть перпендикуляр $CH$ к плоскости $\alpha$ и наклонная $CM$ к этой же плоскости ($M$ лежит на линии $AB$, а значит и в плоскости $\alpha$). Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $CM$ на плоскость $\alpha$.

Поскольку $CM \perp AB$ по построению, то по теореме о трех перпендикулярах, ее проекция $HM$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($HM \perp AB$).

Угол между двумя плоскостями ($\alpha$ и $\beta$) измеряется линейным углом двугранного угла, который образован двумя перпендикулярами к линии их пересечения ($AB$), проведенными в одной точке. В нашем случае это угол $\angle CMH$. По условию, этот угол равен $30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CHM$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит $CH \perp HM$. В этом треугольнике:

• $CM = \frac{a}{2}$ — гипотенуза.
• $CH$ — катет, противолежащий углу $\angle CMH$.
• $\angle CMH = 30^\circ$.

Длину катета $CH$ можно найти по определению синуса:

$CH = CM \cdot \sin(\angle CMH)$

Подставим известные значения:

$CH = \frac{a}{2} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$

Таким образом, расстояние от вершины прямого угла до плоскости $\alpha$ равно $\frac{a}{4}$.

Ответ: $\frac{a}{4}$.