Номер 343, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

343. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, ребра основания которой равны 58 см, 50 см, 12 см, а боковое ребро равно большей высоте основания.

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Вычисление площади основания ($S_{осн}$)

В основании призмы лежит треугольник со сторонами $a = 58$ см, $b = 50$ см и $c = 12$ см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{58+50+12}{2} = \frac{120}{2} = 60$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{60(60-58)(60-50)(60-12)}$

$S_{осн} = \sqrt{60 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 48} = \sqrt{57600} = 240$ см².

2. Вычисление высоты призмы ($H$)

Согласно условию, боковое ребро прямой призмы равно её высоте $H$ и равно большей высоте основания. Площадь треугольника также можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ah$. Отсюда высота $h = \frac{2S}{a}$.

Из этой формулы следует, что наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне. Наименьшая сторона основания равна 12 см. Таким образом, высота призмы равна:

$H = h_{max} = \frac{2 \cdot S_{осн}}{c} = \frac{2 \cdot 240}{12} = \frac{480}{12} = 40$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Периметр основания $P_{осн}$ равен:

$P_{осн} = a+b+c = 58+50+12 = 120$ см.

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 120 \cdot 40 = 4800$ см².

4. Вычисление площади полной поверхности ($S_{полн}$)

Подставляем найденные значения площадей основания и боковой поверхности в исходную формулу:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 240 + 4800 = 480 + 4800 = 5280$ см².

Ответ: 5280 см².