Номер 346, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

346. В прямом параллелепипеде высота равна 60 см, ребра основания — 17 см и 28 см. Найдите диагонали параллелепипеда, учитывая, что одна из диагоналей основания равна 39 см.

Пусть данный прямой параллелепипед имеет высоту $h$, ребра основания (стороны параллелограмма в основании) $a$ и $b$, и диагонали основания $d_1$ и $d_2$. По условию задачи нам даны:

• Высота $h = 60$ см
• Ребра основания $a = 17$ см и $b = 28$ см
• Одна из диагоналей основания, пусть это будет $d_1$, равна $39$ см

Чтобы найти диагонали параллелепипеда, нам сначала нужно найти вторую диагональ его основания.

В любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его четырех сторон. Это свойство выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину второй диагонали основания $d_2$:$39^2 + d_2^2 = 2(17^2 + 28^2)$$1521 + d_2^2 = 2(289 + 784)$$1521 + d_2^2 = 2 \cdot 1073$$1521 + d_2^2 = 2146$

Теперь выразим $d_2^2$:$d_2^2 = 2146 - 1521$$d_2^2 = 625$$d_2 = \sqrt{625} = 25$ см.

Таким образом, диагонали основания параллелепипеда равны $d_1 = 39$ см и $d_2 = 25$ см.

Диагонали прямого параллелепипеда ($D_1$ и $D_2$) являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках, где катетами служат высота параллелепипеда $h$ и соответствующая диагональ основания ($d_1$ или $d_2$). Поэтому мы можем найти их по теореме Пифагора: $D^2 = h^2 + d^2$.

Найдем первую диагональ параллелепипеда $D_1$, используя диагональ основания $d_1 = 39$ см:$D_1^2 = h^2 + d_1^2 = 60^2 + 39^2 = 3600 + 1521 = 5121$$D_1 = \sqrt{5121} = \sqrt{9 \cdot 569} = 3\sqrt{569}$ см.

Найдем вторую диагональ параллелепипеда $D_2$, используя диагональ основания $d_2 = 25$ см:$D_2^2 = h^2 + d_2^2 = 60^2 + 25^2 = 3600 + 625 = 4225$$D_2 = \sqrt{4225} = 65$ см.

Ответ: диагонали параллелепипеда равны $65$ см и $3\sqrt{569}$ см.